2014 국제수학올림피아드

남아프리카공화국.
하루 4시간반동안 3문제씩 이틀.
2014년 7월 8일-9일.

한국대표단: 7위

  • 단장: 송용진 (인하대)
  • 부단장: 김상현 (서울대), 김명환 (서울대), 조철현 (서울대)
  • 대표학생: 김동률 (서울과고3, 금메달), 김민혁 (서울과고2, 금메달), 김재형 (서울과고2, 은메달), 송영근 (서울과고2, 은메달), 이산하 (서울과고3, 은메달), 조홍권 (서울과고2, 은메달)
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양의 정수로 이루어진 무한수열 \( a_0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \cdots \)에 대하여, 다음의 부등식을 만족하는 유일한 정수 \(n\)이 존재함을 증명하여라:
\[ a_n \lt \frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.\]

정수 \( n\ge 2\)에 대하여, $ n^2$개의 단위 정사각형으로 이루어진 $n\times n$ 체스판 위에 $n$개의 체스말이 놓여 있고 각각의 체스말은 단위정사각형 안에 놓여 있다. 체스판의 각 행과 열에 체스말이 정확히 하나씩 포함되어 있을 때, $n$개의 체스말이 놓인 형태를 ‘좋은’ 형태라고 부르자. 다음의 조건을 만족하는 양의 정수 $k$의 최댓값을 구하여라:

(조건) 모든 좋은 형태에 대하여, 어떠한 체스말도 포함하지 않는 ($k^2$의 단위정사각형으로 이루어진) $k\times k$ 정사각형 블록이 존재한다.

볼록사각형 $ABCD$에 대하여, $\angle ABC=\angle CDA=90^\circ$이다. 점 $H$를 꼭지점 $A$에서 대각선 $BD$에 내린 수선의 발이라 하자. 변 $AB$ 위의 점 $S$와 변 $AD$ 위의 점 $T$에 대하여, 점 $H$는 삼각형 $SCT$의 내부에 있고, \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ, \angle THC-\angle DTC=90^\circ\]이다. 이때, 직선 $BD$가 삼각형 $TSH$의 외접원에 접함을 증명하여라.

예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$위의 두 점 $P$, $Q$가 각각 $\angle PAB = \angle BCA$, $\angle CAQ = \angle ABC$를 만족한다. 직선 $AP$ 위의 점 $M$, 직선 $AQ$위의 점 $N$에 대하여, 점 $P$는 선분 $AM$의 중점이고, 점 $Q$는 선분 $AN$의 중점이다. 두 직선 $BM$과 $CN$의 교점이 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 있음을 보여라.

임의의 양의 정수 $n$에 대하여 케이프타운은행은 가치가 $\frac{1}{n}$인 동전들을 발행한다. 그러한 동전들 유한개(가치가 다 다를 필요는 없는)의 모임에 대하여, 그 가치의 총합이 $99+\frac{1}{2}$이하일 때, 이 모임을 가치의 총합이 1 이하인 100개 이하의 소모임으로 쪼갤 수 있음을 보여라.

평면 위의 직선들이 어느 두 직선도 서로 평행하지 않고, 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않을 때, 그 직선들이 ‘보편적으로 배치되어 있다’고 하자. 보편적으로 배치되어 있는 직선들은 평면을 여러개의 영역으로 쪼개고, 그 영역들 중 일부는 유한의 넓이를 갖는다. 이처럼 유한의 넓이를 갖는 영역을 그 배치의 ‘유한영역’이라고 할 때, 다음을 증명하여라: 충분히 큰 모든 $n$에 대하여, $n$개의 직선들로 이루어진 어떠한 보편적 배치에 대하여도, 최소한 $\sqrt{n}$개의 직선을 파란색으로 칠하되 그 배치의 어떠한 유한영역도 그 경계를 이루는 변들이 모두 파랗지는 않도록 칠할 수 있는 방법이 있다.

Note: 만일 $\sqrt n$에 대해서는 결과를 구하지는 못하였으나 대신 $c\sqrt n$에 대한 결과를 구한 경우에는, 상수 $c$의 값에 따라 부분점수를 준다.

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