2015 국제수학올림피아드

개최장소: 태국 치앙마이 (2015년 7월 3일 ~ 7월 16일)

한국대표팀:  3위

  • 단 장 : 송용진(인하대)
  • 부 단 장 : 이승훈(영동대), 임보해(중앙대), 최수영(아주대)
  • 대 표 학 생 : 김세훈(서울과학고등학교 1, 은메달), 김재형(서울과학고등학교 3, 금메달), 김채원(서울과학고등학교 3, 동메달), 이유성(서울과학고등학교 2, 동메달), 주정훈(서울과학고등학교 2, 금메달), 최재원(서울과학고등학교 1, 금메달)
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평면 위에 있는 유한 개의 점의 집합 $S$의 임의의 서로 다른 두 점 $A$, $B$에 대하여 $AC=BC$가 되도록 하는 $S$의 점 $C$가 존재하면 $S$를 평형적이라고 하자. $S$의 어떤 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $C$에 대해서도 $PA=PB=PC$인 $S$의 점 $P$가 wㅗㄴ재하지 않으면, $S$를 비중심적이라 하자.
(a) 모든 양의 정수 $n\ge 3$에 대해, $n$개 점으로 이루어진 평형적인 집합이 존재함을 보여라.
(b) $n$개 점으로 이루어진 평형적이고 비중심적인 집합이 존재하게 되는 양의 정수 $n\ge 3$을 모두 구하여라.

세 정수 \[ ab-c, ~ bc-a, ~ ca-b\]가 모두 $2$의 제곱수가 되는 양의 정수의 순서쌍 $(a,b,c)$를 모두 구하여라. ($2$의 제곱수란 음 아닌 정수 $n$에 대해 $2^n$ 꼴인 양의 정수를 말한다.)

변 $AB$의 길이가 $AC$의 길이보다 긴 예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하고 수심을 $H$라 하며 점 $A$에서 내린 수선의 발을 $F$라 하고 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 원 $\Gamma$ 위에 $\angle HQA=90^\circ$이 되도록 점 $Q$가 있으며, $\angle HKQ=90^\circ$이 되도록 원 $\Gamma$ 위에 점 $K$가 있다고 한다. 점 $A$, $B$, $C$, $K$, $Q$가 모두 서로 다르고 원 $\Gamma$ 위에 이 순서로 나타난다고 하자. 이때 삼각형 $KQH$의 외접원과 삼각형 $FKM$의 외접원은 접한다는 것을 증명하라.

삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Omega$라 하고, 외심을 $O$라 하자. 점 $A$를 중심으로 하는 원 $\Gamma$가 선분 $BC$와 두 점 $D$, $E$에서 만난다. 이 때, $B$, $D$, $E$, $C$는 모두 서로 다르고 이 순서대로 선분 $BC$에 놓여있다. $F$와 $G$는 두 원 $\Gamma$와 $\Omega$의 교점이고, $A$, $F$, $B$, $C$, $G$는 $\Omega$ 위에 순서대로 놓여 있다. $K$는 삼각형 $BDF$의 외접원과 선분 $AB$의 교점 중 $B$가 아닌 점이다. $L$은 삼각형 $CGE$의 외접원과 선분 $CA$의 교점 중 $C$가 아닌 점이다. 직선 $FK$와 $GL$이 서로 다르고 점 $X$에서 만날 때, $X$는 직선 $AO$ 위에 있음을 보여라.

실수 전체의 집합을 $\mathbb R$이라 하자. 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$을 모두 구하여라:
임의의 실수 $x$, $y$에 대하여 \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\]이 성립한다.

정수로 이루어진 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 다음 조건을 만족한다:
(i) 모든 $j\ge 1$에 대하여 $1\le a_j\le 2015$이다;
(ii) 모든 $1\le k\lt \ell$에 대하여 $k+a_k\neq\ell+a_\ell$이다.
다음을 만족하는 두 양의 정수 $b$와 $N$이 존재함을 보여라:

$n\gt m\ge N$을 만족하는 모든 정수 $m$rㅘ $n$에 대하여 \[\left\lvert \sum_{j=m+1}^n (a_j-b)\right\rvert \le 1007^2\]이 성립한다.

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