2016년 7월 11일-12일 홍콩.
하루 3문제 4시간 30분.
한국대표단: 전체 2위
- 단 장 : 송용진 교수(인하대)
- 부 단 장 : 임보해 교수(중앙대), 엄상일 교수(카이스트), 이승훈 교수(영동대)
- 대표학생 : 김세훈(서울과학고등학교 2, 금메달), 백승윤(서울과학고등학교 2, 은메달), 이유성(서울과학고등학교 3, 은메달), 주정훈(서울과학고등학교 3, 금메달), 최재원(서울과학고등학교 2, 금메달), 홍의천(세종과학고등학교 2, 금메달)
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삼각형 $BCF$의 각 $B$는 직각이다. 점 $A$는 직선 $CF$ 위의 점으로서 $FA=FB$이고, $F$는 $A$와 $C$ 사이에 있다. 점 $D$는 $DA=DC$를 만족하며, $AC$는 $\angle DAB$의 이등분선이다. 점 $E$는 $EA=ED$를 만족하며, $AD$는 $\angle EAC$의 이등분선이다. $CF$의 중점을 $M$이라 하고, $X$를 사각형 $AMXE$가 평행사변형이 되도록 하는 점이라 하자 (단, $AM \parallel EM$이고 $AE\parallel MX$). 세 직선 $BD$, $FX$, $ME$가 한 점에서 만남을 보여라.
$n\times n$ 체스판이 있다. 이 체스판의 각각의 칸에 세 글자 $I$, $M$, $O$ 중 하나 씩을 다음 조건을 모두 만족하도록 써 넣으려 한다. 이것이 가능한 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
- 각 행과 각 열에 있는 칸 중 삼분의 일은 $I$이고, 삼분의 일은 $M$이고, 삼분의 일은 $O$이다;
- 칸의 개수가 $3$의 배수가 되는 대각선에 대해서는 칸의 삼분의 일은 $I$이고, 삼분의 일은 $M$이고, 삼분의 일은 $O$이다.
참고: $n\times n$ 체스판의 각각의 행과 열에는 $1$부터 $n$까지의 번호가 순서대로 매겨져 있다. 따라서 각 칸마다 양의 정수의 순서쌍 $(i,j)$, $1\le i,j\le n$이 대응된다. $n\gt 1$에 대하여, 체스판의 대각선은 두가지 유형으로 총 $4n-2$개가 있다. 첫번째 유형은 $i+j$가 일정한 $(i,j)$-칸들로 이루어진 것이고, 두번째 유형은 $i-j$가 일정한 $(i,j)$-칸들로 이루어진 것이다.
평면에 볼록다각형 $P=A_1A_2\cdots A_k$가 있다. 각 꼭짓점 $A_1, A_2,\ldots,A_k$의 좌표는 모두 정수이고, 이 점들은 모두 한 원 위에 있다. $P$의 넓이를 $S$라 하자. 홀수인 양의 정수 $n$에 대하여, $P$의 각각의 변의 길이의 제곱이 $n$의 배수이다. $2S$가 $n$의 배수인 정수임을 보여라.
양의 정수들로 이루어진 집합이 2개 이상의 원소를 가지며, 각 원소가 나머지 원소들 중 적어도 하나와 공통소인수를 가질 때, 이 집합을 향기로운 집합이라고 하자. $P(n)=n^2+n+1$이라 할 때, 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $b$ 중 가장 작은 것은 무엇인가?
다음 집합이 향기로운 집합이 되도록 하는 음이 아닌 정수 $a$가 존재한다. \[ \{ P(a+1), P(a+2),\ldots,P(a+b)\} \]
양변이 각각 $2016$개의 일차식으로 이루어진 다음 방정식이 칠판에 쓰여져 있다. \[ (x-1)(x-2)\cdots (x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)\] 이 방정식의 4032개의 일차식 중에서 정확하게 $k$개의 식을 잘 지워서, 양변에 각각 적어도 하나의 일차식은 남아 있고, 지우고 남은 방정식이 실근을 갖지 않게 하려고 한다. 이것이 가능하게 되는 가장 작은 양의 정수 $k$의 값은 무엇인가?
평면에 $n\ge 2$개의 선분이 있다. 이 중 임의의 두 선분이 내부에서 교차하고, 어떤 세 선분도 한 점에서 만나지 않는다. 진용이는 각각의 선분마다 한 끝점을 선택해서 그 점에 개구리 한 마리를 놓되, 그 개구리가 그 선분의 다른 끝점을 향하도록 놓는다. 그리고 나서 손뼉을 $n-1$번 친다. 진용이가 손뼉을 한 번 칠 때마다, 모든 개구리는 앞으로 뛰어서 그 선분의 바로 다음 교점으로 이동한다. 개구리는 뛰는 방향을 절대로 바꾸지 않는다. 진용이는 개구리들이 뛰어 이동할 때, 어떤 두 개구리가 같은 교점에 동시에 있는 일이 발생하지 않도록 개구리를 배치하고자 한다.
(a) $n$이 홀수이면, 진용이가 원하는 대로 할 수 있음을 보여라.
(b) $n$이 짝수이면, 진용이가 원하는 대로 절대로 할 수 없음을 보여라.