$n\ge 1$에 대해 수열 $\{a_n\})$이 $a_1=1$이고 모든 $n\ge 1$에 대해 \[ a_{n+1}=\lfloor a_n+\sqrt{a_n}+\frac12\rfloor\]으로 주어져 있다. 단, $\lfloor x\rfloor$는 $x$보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 것이다. 이때 모든 $n\le 2013$ 중 $a_n$이 완전제곱수가 되는 $n$을 모두 찾아라.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)

$n$($n\ge 4$)개의 팀이 있는 축구 토너먼트 대회에서 각 쌍의 팀은 정확히 한 번 경기를 한다고 한다. 토너먼트 대회가 끝난후 최종 점수판에서 각 팀의 점수를 봤더니 등차수열을 이루고 각 팀이 그 다음 팀보다 정확히 1점이 더 많았다고 한다. 최저점수를 기록한 팀이 가질 수 있는 최고의 점수를 구하라. 단, 각 경기에서 이긴 팀은 3점을, 비긴 팀은 1점을, 진 팀은 0점을 얻는다고 한다.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)

$k\ge 0$에 대해 수열 $\{n_k\}$가 $n_0=n_1=1$이고 모든 $k\ge 1$에 대해 $n_{2k}=n_k+n_{k-1}$, $n_{2k+1}=n_k$를 만족한다고 하자. 모든 $k\ge 1$에 대해 $q_k=\frac{n_k}{n_{k-1}}$이라 하자. 이때 임의의 양수인 유리수는 수열 $\{q_k\}$에 정확히 한 번씩 나타난다는 것을 증명하라.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)

예각삼각형 $ABC$ 내부의 점 $H$를 생각하자. 점 $H$를 변 $AB$와 변 $AC$에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $H_c$와 $H_b$라 하자. 점 $H$를 변 $AB$의 중점과 변 $AC$의 중점에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $H_c’$와 $H_b’$이라 하자. 이때 네 점 $H_b$, $H_b’$, $H_c$, $H_c’$이 한 원이 있을 필요충분조건은 그 네 점 중 두 개 이상이 같은 점이거나 $H$가 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선 위에 있다는 것임을 증명하라.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)