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양의 정수 $a$에 대해 $x_1=a$이고 $n\ge 1$일 때 $x_{n+1}=2x_n+1$이 되는 수열 $x_1,x_2,\ldots$에 대해 $y_n=2^{x_n}-1$이라 하자. 이때 어떤 양의 정수 $a$에 대해 $y_1,y_2,\ldots,y_k$가 모두 소수가 되는 $k$ 중 최대값은 얼마인가?
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)

다음 조건을 만족하는 두 함수 $g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$이 존재하는가?
모든 실수 $x$에 대해 $f(g(x))=g(f(x))$이고 $f(h(x))=h(f(x))$가 되는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$는 항등함수밖에 없다.
(단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.)
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)

원 $\omega$에 내접한 사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $AB$와 $CD$가 점 $P$에서 만나고 직선 $AD$와 $BC$가 점 $Q$에서 만나며 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $R$에서 만난다. 선분 $PQ$의 중점을 $M$이라 하고 선분 $MR$과 원 $\omega$가 만나는 점을 $K$라 하자. 삼각형 $KPQ$의 외접원과 원 $\omega$가 한 점에서 접한다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)

평면 위에 두 볼록사각형 모양인 두 영역 $P$와 $P’$가 있다. (영역은 경계를 포함한다.) 이 두 영역이 한 점 $O$에서 만난다. 점 $O$를 지나는 임의의 직선 $\ell$에 대해 선분 $\ell\cap P$의 길이가 항상 $\ell\cap P’$보다 크다고 한다. 이때, $P’$의 넓이가 $P$의 넓이의 1.9배보다 클 수 있는가?
(2013년 3월 2일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)

정수 $k\ge 2$에 대해 $a_1=1$이라 하고 모든 정수 $n\ge 2$에 대해 $x>a_{n-1}$이면서 \[ x=1+\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \sqrt[k]{\frac{x}{a_i}} \right\rfloor \]인 $x$중 가장 작은 것을 $a_n$이라 하자. 수열 $a_1,a_2,\ldots$에는 모든 소수가 나타남을 증명하라.
(2013년 3월 2일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)

정$2n$각형 꼭지점마나 서로 다른 $2n$개의 돌을 놓았다. 정$2n$각형의 한 변을 골라 양 끝점에 있는 두 돌을 교환하는 것을 교환작업이라 하자. 만일 유한번 교환작업을 했더니 임의의 두 돌에 대해 그 두 돌이 정확히 한 번 교환작업되었다고 한다. 이때 어떤 변은 한 번도 골라진 적이 없음을 보여라.
(2013년 3월 2일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)