제7회 루마니아 Masters of Mathematics.
홈페이지: http://rmms.lbi.ro/rmm2015/index.php?id=home
2015년 2월 27일-28일 이틀간 매일 4시간 30분동안 3문제씩 풉니다.
문제별 참가 학생 평균점수: 6.82, 1.94, 1.02, 6.08, 4.87, 0.98 (7점 만점)
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다음 조건을 만족하는 양의 정수의 무한 수열 $a_1,a_2,\ldots$이 존재하는가?
$a_m$과 $a_n$일 필요충분조건은 $|m-n|=1$인 것이다.
양의 정수 $n\ge 5$에 대해 두 사람이 정$n$각형 위에서 아래 게임을 한다. 처음에는 3개의 연속한 꼭지점이 선택되어 있고 선택된 꼭지점 각각에는 바둑알이 놓여있다. 각 사람은 자기 차례가 되면 하나의 바둑알을 골라 여러 변을 따라 움직여서 다른 꼭지점으로 놓을 수 있는데, 단 다른 바둑알을 건너뛰지는 못하며, 세 바둑알이 만든 삼각형의 면적은 옮기기 이전보다 커야 한다. 두 사람이 교대로 한번씩 바둑알을 움직이다가 더 이상 움직일 수 없는 사람이 진다고 할 때 첫 번째 사람이 반드시 이길 수 있는 전략이 존재할 $n$값을 모두 구하여라.
칠판에 유한개의 유리수가 적혀있다. 어느 두 수 $a$, $b$를 골라서 지우고 대신 $a+b$, $a-b$, $b-a$, $a\times b$, $a/b$ (단 $b\neq0$일때만), $b/a$ (단 $a\neq 0$) 중 하나로 바꿔쓰는 일을 하나의 시행이라 하자. 어떤 $n\gt 100$인 정수에 대해, \[k+1,k+2,\ldots,k+n\]으로부터 $n-1$번의 시행으로 $n!$을 얻을 수 있을 $k\ge0$의 수는 유한함을 증명하라.
삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 삼각형 $ABD$, 삼각형 $ACD$의 내심을 각각 $J_b$, $J_c$라 하자. 이때 삼각형 $AJ_bJ_c$의 외심이 각 $BAC$의 이등분선 위에 있음을 보여라.
소수 $p\ge 5$가 있다. 정수 $k$를 $p$로 나눈 나머지를 $p$라 하자. ($0\le R(k)\le p-1$.) 이때 모든 $m=1,2,\ldots,p-1$에 대해 \[ m+R(ma)\gt a\]인 $p$보다 작은 모든 양의 정수 $a$를 구하여라.
주어진 양의 정수 $n$에 대해 다음 조건들을 동시에 만족하는 가장 큰 실수 $\mu$를 구하여라. 한 변 길이가 $1$인 정사각형 $U$ 내부에 있는 임의의 $4n$개의 점의 집합 $C$에 대해
* 각 변은 $U$의 어떤 변과 평행하고,
* 내부에는 $C$의 점 중 정확히 한 점만 포함하며,
* 넓이는 $\mu$ 이상인
$U$에 포함된 직사각형 $T$가 존재한다.