2017 루마니아 수학 마스터

2017 Romanian Master of Mathematics

2017년 2월 25일, 26일

하루 4시간 반 3문제씩 이틀.

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(a) 모든 양의 정수 $n$은 다음과 같은 형태로 유일하게 표현할 수 있음을 보여라.

어떤 정수 $k\ge 0$와 정수 $0\leq m_1<m_2<\cdots <m_{2k+1}$에 대해 \[ n = \sum_{j=1}^{2k+1} (-1)^{j-1} 2^{m_j}.\]

이때, 그러한 $k$ 값을 $n$의 비중이라 하자.

(b) 비중이 짝수인 $2^{2017}$ 이하의 양의 정수의 개수와 비중이 홀수인 $2^{2017}$ 이하의 양의 정수의 개수의 차이를 구체적인 수로 나타내어라.

다음 조건을 만족하는 모든 양의 정수 $n$을 구하여라.

(조건) 차수가 $n$ 이하인 임의의 정수계수 모닉다항식 $P$에 대해, \[P(x_1) + P(x_2) + \cdots + P(x_k) = P(x_{k+1})\]을 만족하는 어떤 양의 정수 $k\leq n$와 $k+1$개의 서로 다른 정수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{k+1}$이 존재한다.

단, 모닉다항식이란 최고차항의 계수가 1인 다항식이다.

유한집합 $X$의 원소의 개수를 $n$ ($n>1$)이라 하자. 집합 $X$의 하나 이상의 부분집합의 모임 $A_1$, $\ldots$, $A_k$에 대하여, 합집합 $A_1\cup \cdots\cup A_k$가 $X$의 진부분집합이고 $X$의 원소 중 어느 것도 $A_i$ 중에 정확히 하나에만 속하지는 않을 때, 그러한 모임을 촘촘하다고 하자. 이때 $X$의 공집합이 아닌 진부분집합들의 모임에 대하여, 그것의 빈 모임이 아닌 모든 부분모임이 촘촘하지 않다고 할 때, 그 모임에 속한 집합의 개수의 최댓값을 구하여라.

단, $X$의 부분집합 $A$가 $X$의 진부분집합이란 $A\neq X$임을 뜻한다. 모임에 속한 집합들은 서로 다르다고 가정한다. 임의의 모임은 자기 자신의 부분모임이다.

좌표 평면 위에 두 이차식 $f_1(x) = p_1x^2 + q_1x + r_1$, $f_2(x) =p_2x^2 + q_2x + r_2$의 그래프 $\mathcal G_1$, $\mathcal G_2$가 있다. 단, $p_1>0>p_2$이다. 두 그래프 $\mathcal G_1$, $\mathcal G_2$가 서로 다른 두 점 $A$, $B$에서 만나고, $A$, $B$에서 $\mathcal G_1$, $\mathcal G_2$에 접하는 접선 $4$개로 이루어진 볼록사각형에 내접하는 원이 존재한다. 이때, 두 그래프 $\mathcal G_1$과 $\mathcal G_2$의 대칭축이 서로 같음을 보여라.

정수 $n\ge 2$에 대해, $n\times n$ 체스판에서 총 $n$개의 칸을 지우되 각 행과 열에서 정확히 한 칸씩만 지운 것을 $n\times n$라 부르자. 양의 정수 $k$에 대해 $1\times k$ 또는 $k\times 1$ 형태의 직사각형 모양을 작대기라 부르자. 어떤 $n\times n$체 $A$를 작대기 여러 개로 분할할 때 필요한 최소의 작대기 개수를 $m(A)$라 하자. 이때 $n\times n$체 $A$에 대하여 가능한 $m(A)$ 값을 모두 구하여라.

볼록사각형 $ABCD$의 변 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 위에 각각 점 $P$, $Q$, $R$, $S$가 있다. 사각형 $ABCD$를 선분 $PR$과 $QS$로 분할하여 얻은 네 개의 사각형 각각에서 두 대각선이 직교한다. 이때 점 $P$, $Q$, $R$, $S$가 한 원 위에 있음을 보여라.

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