2017년 10월 개최된 아시아 태평양 지역 대학생 대상 수학경시대회. 문제 출처
Session A: 3시간
Session B: 3시간
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종이 위에 정오각형의 다섯 개의 변과 다섯 개의 대각선이 그려져 있다. 두 사람이 돌아가면서 이 10개의 선분 중 하나를 골라 색칠하는 게임을 한다. 첫 번째 사람은 선분을 파랑으로 칠하고 두 번째 사람은 빨강으로 칠하며, 이미 칠해진 선분을 다시 칠할 수는 없다. 정오각형의 꼭짓점 3개로 이루어진 삼각형 중 어느 하나라도 자기 색으로 칠해진 것이 생기는 순간 그 사람이 이긴다. 만일 모든 선분을 다 칠하였는데도 삼각형이 없다면 비긴 걸로 한다.
이 게임에서 첫 번째 사람이 필승전략이 있을지, 두 번째 사람이 필승전략이 있을지, 아니면 누구도 필승전략이 없는지 결정하여라.
실수의 수열 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$에서 $a_1=1$이고 임의의 $m\ge 2$에 대해 \[ a_m=\frac{1}{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{m-1}^2}\]이라고 한다. 이때, 다음 부등식이 성립할 양의 정수 $N$이 존재하는가? \[ a_1+a_2+\cdots+a_N>2017^{2017}\]
양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 행렬 중 $(i,j)$항의 값이 $i+1$이 $j$의 배수이면 $1$, 아니면 $0$이 되는 행렬을 $M(n)$이라 하자.
이때 $M(n)$이 역행렬을 가질 필요충분조건이 $n+1$이 $1$이 아닌 완전제곱수를 약수로 갖지 않는 것임을 보여라.
정$2017$각형의 꼭짓점을 순서대로 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2017}$이라 하자. 이때 이 다각형이 속한 평면 위에 다음 벡터의 값이 $0$벡터가 되도록 하는 점 $P$가 있음을 보여라. \[ \sum_{k=1}^{2017} k\frac{\overrightarrow{PA_k}}{\lVert \overrightarrow{PA_k}\rVert^5}\] (단, $\lVert \overrightarrow{XY}\rVert$는 벡터 $\overrightarrow{XY}$의 길이를 뜻한다.)
사면체의 각 꼭짓점에 그 꼭짓점과 만나는 세 변의 길이의 합을 적었다. 그랬더니 모든 수가 똑같았다고 한다. 이 사면체의 각 꼭짓점에 대하여, 그 꼭짓점과 만나는 세 변의 길이로 삼각형을 만들 수 있음을 보여라.
식 $p^{q-1}+q^{p-1}$이 완전제곱수가 될 소수 $(p, q)$의 순서쌍을 모두 구하여라.
평면 위의 정수 좌표를 갖는 각 점이 다음 두 성질을 동시에 만족하도록 빨강 혹은 파랑으로 칠해져 있다.
- 임의의 두 빨간 점을 잇는 선분은 다른 파란 점을 지나지 않는다.
- 거리가 정확히 $2$ 떨어진 임의의 두 파란 점의 중점은 반드시 파랑이다.
만일 어떤 세 빨간 점이 삼각형의 세 꼭짓점을 이룬다면, 그 삼각형의 내부에는 파란 점이 전혀 없음을 보여라.
아래 문제는 미해결 문제로 아직 해답이 알려져 있지 않습니다. 문제에 대한 진척에 대해서도 점수를 받을 가능성이 있습니다. 예를 들어 아래 수열에 관하여 자명하지 않은 바운드를 증명하는 것이 그 예가 될 수 있습니다.
정수 $n\ge 2$에 대하여, 각 변의 길이가 $1$인 정$2n$각형을 생각하자. 이 다각형을 모든 변의 길이가 $1$인 사각형으로 분할하는 방법의 수를 $C(n)$이라 하자. 이때 아래 수열의 하극한과 상극한을 구하여라. \[ \frac{1}{n^2}\log_2 C(n).\]
1번 문제 답: 첫 번째 사람에게 필승전략이 있다.
먼저 두 가지 자명한 사실은 다음과 같다:
A. (이번 턴이 두 번째 사람의 턴이라고 가정할 때) 두 개의 파란색 선분이 (오각형의 꼭짓점 중) 한 점에서 만나고 그 두 선분의 끝이 연결되어있지 않을 때, 반드시 두 선분의 끝을 잇는 선분을 빨간색으로 칠해야 한다. (예를 들어, 오각형 위의 각 점을 A, B, C, D, E 라고 하면, 직선 AB와 AC가 파란색이고, 직선 BC는 색이 칠해져 있지 않을 때, 두 번째 사람은 직선 BC를 빨간색으로 칠해야 한다.)
B. (이번 턴이 두 번째 사람의 턴이라고 가정할 때) 세 파란색 선분이 한 점에서 만나고, 그 선분들의 만나는 점이 아닌 다른 쪽 끝 부분을 잇는 선분들 중, 최소 두 개 이상이 빨간색으로 칠해져 있지 않은 경우, 첫 번째 사람의 승리이다.
첫 번째 사람이 다음의 알고리즘에 따르면, 게임에서 항상 승리할 수 있다.
1. 임의의 선분을 파란색으로 칠한다. (사실 오각형은 회전대칭이므로, 두 가지 경우의 수 밖에 없다)
(두 번째 사람의 턴)
2. 다음의 두 가지 경우로 나뉜다:
1) 두 번째 사람이 칠한 빨간 선분이 자신이 처음에 칠한 파란 선분과 (오각형의 꼭짓점 중) 한 점에서 만나는 경우:
빨간 선분과 파란 선분이 만나는 점과, 남아있는(파란색, 빨간색 선분과 만나지 않는) 오각형의 꼭짓점 중 임의의 점을 잇는 선분을 파란색으로 칠한다.
2) 두 번째 사람이 칠한 빨간 선분과 자신이 처음에 칠한 파란 선분이 (오각형의 꼭짓점 중) 한 점에서 만나지 않는 경우:
자신이 처음에 칠한 파란 선분 양 끝 점(즉, 그 선분이 만나는 오각형의 꼭짓점들 중 한 점) 과 남은 한 점(파란 선분, 빨간 선분과 모두 만나지 않은 오각형의 꼭짓점) 을 잇는 선을 파란색으로 칠한다.
(두 번째 사람의 턴. “A”에 의해, 두 파란색 선분의 끝 부분을 잇는 선분을 빨간색으로 칠해야 한다. 또한, 그렇게 칠한 선분은 처음에 칠한 빨간 선분과 (오각형의 꼭지점에서) 만나지 않는다.)
3. 앞에서 칠한 두 파란 선이 만나는 점과 파란 선분과 만나지 않는 임의의 오각형의 꼭짓점을 잇는 선분을 파란색으로 칠한다. “B”에 의해 첫 번째 사람이 게임에서 승리한다.
[선을 색칠하여 삼각형을 만드는 방식으로 생각하기 어려울 경우, 오각형의 각 꼭짓점을 A, B, C, D, E 라고 하여, “AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE” 를 턴 마다 하나씩 가져가서, 순환하는 세 개 (예를 들어 AB, BC, AC) 를 만들면 승리한다는 식으로 생각하면 좀 더 편하게 풀 수 있다.]
B3 문제 답:
먼저, 자명한 두 가지 사실은 다음과 같다.
A. 서로 붙어있고, 완전히 채워져 있는 빨간 점들의 집합을 A(n) 이라고 하자. (n은 자연수) 문제의 두 번째 조건에 의해, A(n) 의 최소 크기는 4 이고, 이 때 네 개의 빨간 점들이 정사각형을 이룬다.
B. 두 정수 점을 잇는 선분이 그 두 정수점이 아닌 다른 정수점을 지나지 않기 위한 필요충분조건은 “두 정수점의 x값 차와 y값 차가 서로소” 인 것이다.
이제 평면 위에 두 개의 빨간 점 집합, A(1) 과 A(2)가 있다고 생각하자. A에 명시된 것 처럼, 각 집합의 최소크기는 4 이다. 이 때, A(1) 에 속한 점 중, x좌표와 y좌표의 값을 더한 값이 가장 작은 점을 (a, b) 라고 하자. 이렇게 하면, A(1)의 나머지 점들은 “(a + 1, b), (a, b + 1), (a + 1, b + 1)” 이라고 쓸 수 있다. 이는 A(2)도 마찬가지이며 따라서, A(1)위의 어떤 점과 A(2)위의 어떤 점 중 x좌표의 차와 y좌표의 차가 모두 짝수가 되는 점이 항상 존재한다. 이제 B에 의해, 그 두 점을 이은 선분은 정수좌표를 지나게 되고, A(1)과 A(2) 사이에는 빨간 점의 집합인 A(3)이 생기게 된다. 이 “프로세스” 는 모든 빨간 점 집합이 (내부가 채워진) 하나의 집합이 될 때까지 계속된다. 이제, 이 집합 외부를 구성하는 빨간 점들을 이어서 최대한 많은 점을 포함하는 다각형을 만들었다고 생각하자. “프로세스” 의 과정을 생각해보면, 이 다각형이 포함하는 점들은 “프로세스” 과정에서 그어진 선분이 정수점에 만나는 (따라서 빨간색으로 변한) 점들일 수 밖에 없다. 따라서 이 다각형이 포함하는 모든 정수점은 빨간색이다. 그러므로, 이 집합에서 어떤 임의의 세 점을 뽑아 삼각형을 만들던, 그 삼각형은 빨간색 점만을 포함한다.
음… 제 표현 방식이 너무 추상적인 것 같네요.. 어떻게 하면 더 수학적으로 표현할 수 있을지 모르겠네요.