2016년 4월 8일. 4시간에 4문제. 1분야는 22세 미만, 2분야는 25세 미만 대학생 대상.

출처: http://vjimc.osu.cz/history

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미분이 연속인 함수 $f:\mathbb{R}\to (0,\infty)$에 대해, 항상 \[ e^{f'(\xi)} f(0)^{f(\xi)}=f(1)^{f(\xi)}\]이 만족되는 $\xi\in(0,1)$이 존재함을 보여라.

양의 정수 $n$ 중 $\varphi(n)$이 $n^2+3$의 약수가 되는 것을 모두 구하라. (단, $\varphi(n)$은 $n$보다 작거나 같으며 $n$과 서로소인 양의 정수의 수이다.)

어떤 $d\ge 3$에 대해 $A_1\cdots A_{d+1}$이 $\mathbb{R}^d$ 내의 단체(simplex)라 하자. (단체(simplex)란 하나의 초평면 위에 있지 않은 d+1개 점의 볼록포이다.) 모든 $i=1,\ldots,d+1$에 대해 면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$의 외심을 $O_i$라 하자. 즉, $O_i$는 초평면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$ 위에 있으며 점 $A_1$, $\ldots$, $A_{i-1}$, $A_{i+1}$, $\ldots$, $A_{d+1}$ 각각으로부터 같은 거리 떨어져있다. 각 $i$에 대해 $A_i$를 지나고 초평면 $O_1\cdots O_{i-1}O_{i+1}\cdots O_{d+1}$과 수직인 직선을 그리자. 이때 이 직선들이 모두 평행하거나 공통인 점을 지난다는 것을 보여라.

만일 \[A_n=\sum_{k_1=1}^\infty\cdots\sum_{k_n=1}^\infty \frac1{k_1^2}\frac1{k_1^2+k_2^2}\cdots \frac{1}{k_1^2+\cdots+k_n^2}\]일 때, $\sum_{n=1}^\infty A_n$을 구하라.

양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $a+b+c=1$을 만족시킨다. 이때, 다음 부등식을 보여라. \[ \left(\frac1a+\frac1{bc}\right)\left(\frac1b+\frac1{ca}\right)\left(\frac1c+\frac1{ab}\right)\ge 1728\]

어떤 집합 $X$가 주어져 있다. 집합 $X$의 모든 부분집합의 집합을 $\mathcal{P}(X)$라 하자. 모든 $X$의 서로 겹치지 않는 두 부분집합 $A$, $B$에 대해 \[ \mu(A\cup B)=\mu(A)\cup \mu(B)\]를 만족시키는 함수 $\mu:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$이 있다고 하자. 이때 $X$의 어떤 부분집합 $F$는 $\mu(F)=F$를 만족시킴을 보여라.

정수 $n\ge 3$에 대해 다음 $n\times n$ 행렬의 모든 고유치(eigenvalue)를 중복을 포함하여 찾아라. \[ \begin{pmatrix}1&0&1&0&0&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&2&0&1&0&0&\cdots&\cdots&0&0\\1&0&2&0&1&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&1&0&2&0&1&\cdots&\cdots&0&0\\0&0&1&0&2&0&\cdots&\cdots&0&0\\0&0&0&1&0&2&\cdots&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&0&0&\cdots&\cdots&2&0\\0&0&0&0&0&0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}\]

어떤 함수 $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$은 미분이 연속이며 모든 $x\ge 1$에 대해 \[ f(x)=\int_{x-1}^x f(t)\,dt\]를 만족시킨다. 이때, 다음을 보여라. \[ \int_1^\infty \lvert f'(x)\rvert \,dx\lt \infty\]