제27회 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회
2017년 3월 31일 Ostrava. 출처
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함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$은 연속함수이며 모든 $x,y\in \mathbb R$에 대하여 \[ f(x+2y)=2f(x)f(y)\]라 한다. 이때, $f$는 상수함수임을 보여라.
양의 정수의 수열 $(a_1,\ldots,a_n)$을 \[(1,2,\ldots,a_1-1,1,2,\ldots,a_2-1,a_2,1,2,\ldots,a_3-1,a_3,\ldots,1,2,\ldots,a_n-1,a_n)\]으로 바꾸는 작업을 그 수열을 확장한다고 부르자. 즉, 어떤 수열을 확장하면 원래 수열의 $k$라는 항은 $1$, $2$, $\ldots$, $k-1$, $k$로 바뀐다. 처음에 $(1,2,\ldots,9)$라는 수열에서 시작하여 확장하는 작업을 2017번 한 후, 그 수열에서 항 하나를 임의로 뽑았을 때, 뽑힌 수가 1이 될 확률은 얼마인가?
볼록 다면체(convex polyhedron) $P$가 있다. 야릭이 음 아닌 실수를 $P$의 각 꼭짓점에 적었는데, 전체의 합이 $1$이 되었다. 각 변에는 그 양 끝점에 적힌 수의 곱을 적었다. 이때, 변에 적힌 수의 합은 $\frac38$ 이하임을 보여라.
연속이며 미분가능한 함수 $f:(1,\infty)\to\mathbb R$이 $f(x)\le x^2\log (x)$이며 모든 $x\in(1,\infty)$에서 $f'(x)>0$임을 만족한다고 한다. 이때, \[ \int_1^\infty \frac1{f'(x)}\,dx=\infty\]임을 보여라.
모든 $n$에 대해 $a_{n}\in \{0,1\}$인 수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$이 있다. 함수 $F:(-1,1)\to\mathbb R$이 \[F(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n\]으로 정의되어 있으며 $F(\frac12)$는 유리수였다고 가정하자. 이때, $F$는 정수 계수를 갖는 두 다항식을 나눈 것과 같음을 보여라.
다음 명제를 증명하거나 반증하라. 만일 $g:(0,1)\to (0,1)$이 증가함수이면서 모든 $x\in (0,1)$에 대하여 $g(x)>x$라면, 모든 $x\in (0,1)$에서 $f(x)<f(g(x))$이면서 증가함수가 아닌 연속함수 $f:(0,1)\to\mathbb R$이 존재한다.
정수 $n\ge 2$에 대하여 다음 등식을 생각하자. \[ x_1+\frac2{x_2}=x_2+\frac2{x_3}=\cdots=x_n+\frac{2}{x_1}.\]
- 이 등식을 만족하는 서로 다른 실수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$이 무한히 많음을 보여라.
- 모두 같지는 않은 실수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$이 이 등식을 만족할 때, $\lvert x_1x_2\cdots x_n\rvert=2^{n/2}$임을 보여라.
어떤 양의 정수 $t$를 두 양의 정수 $x$, $y$를 사용하여 $t=x^3+y^2$으로 쓸 수 있으면 그 정수 $t$를 제인의 정수라 부르자. 임의의 정수 $t\ge 2$에 대하여 $n^2$개의 연속인 정수 $\{m+1,m+2,\ldots,m+n^2\}$ 중 정확히 $n+1$개의 제인의 정수가 포함될 $m$이 무한히 많이 존재함을 보여라.