2014년 1월 13일 월요일. 3시간동안 12문제. 출처
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원 $C_1$이 원 $C_2$의 내부에 있으며 점 $A$에서 내접하고 있다. 원 $C_2$의 중심을 $O$라 하자. 원 $C_1$ 위의 점 $P$가 있어, $P$에서 원 $C_1$에 그은 접선이 $O$를 지난다. 반직선 $OP$가 원 $C_2$와 만나는 점을 $Q$라 하고, 점 $A$를 지나는 원 $C_1$의 접선과 직선 $OP$의 교점을 $R$이라 하자. 원 $C_2$의 반지름의 길이는 9이며 $PQ=QR$일 때, 선분 $OP$의 길이를 구하여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.
정8각형이 있어 각 꼭지점에 1 이상 8 이하의 정수를 하나씩 쓴다. 이 때, 다음 두 조건을 만족시키도록 쓰는 경우의 수를 구하여라. 단, 회전하거나 뒤집어서 일치하더라도 다른 경우로 생각한다.
(1) 써진 수는 전부 서로 다르다.
(2) 인접한 두 꼭지점에 써진 수는 서로 소이다.
$10!$의 모든 양의 약수 $d$에 대해 $\frac{1}{d+\sqrt{10!}}$을 모두 더한 값을 계산하여라.
원주 위에 6개의 점 $A,B,C,D,E,F$가 이 순서로 놓여져 있고, 선분 $AD,BE,CF$가 한 점에서 만난다. $AB=1,BC=2,CD=3,DE=4,EF=5$라 할 때, 선분 $FA$의 길이를 구하여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.
$a+b+c=5$를 만족하는 모든 음 아닌 정수 $(a,b,c)$에 대해 $\binom{17}{a} \cdot \binom{17}{b} \cdot \binom{17}{c}$을 모두 더한 값을 계산하여라. 단, 해답은 연산자 없이 정확한 수치로 구해야 한다.
두 칠판 $A,B$가 있어, 각각의 칠판에 2 이상 20 이하의 서로 다른 정수가 몇 개 써있다. $A$에 써있는 수와 $B$에 써있는 수를 하나씩 뽑으면, 그 두 수는 반드시 서로 소가 된다고 한다. 이 때, $A$에 써진 정수의 개수와 $B$에 써진 정수의 개수의 곱의 최댓값을 구하여라.
어떤 학교에는 4명으로 이루어진 학생회가 있다. 학생회에는 4개의 직함이 있어 각각의 위원은 서로 다른 직함을 맡는다. 각각의 위원은 원하는 직함이 2개씩 있고, 모든 위원을 원하는 직함으로 대응시키는 방법은 정확히 2가지 있다고 한다. 이 때, 4명의 위원이 각각 어떤 직함을 원하는지를 따지는 경우의 수를 구하여라.
어떤 자리수도 0이 아닌 1000자리의 양의 정수 $m$과, $m$ 이하의 양의 정수 $n$에 대해, $[\frac{m}{n}]$에 등장하는 0인 자리수의 개수의 최댓값을 구하여라. 단, 실수 $r$에 대해 $r$ 이하의 최대의 정수를 $[r]$로 표현한다.
정사각형 $ABCD$아 있어 그 대각선의 교점을 $O$라 한다. 선분 $OA,OB,OC,OD$ 위에 각각 $P,Q,R,S$가 있어 $OP=3,OQ=5,OR=4$를 만족한다고 한다. 직선 $AB$와 직선 $PQ$의 교점, 직선 $BC$와 직선 $QR$의 교점, 직선 $CD$와 직선 $RS$의 교점이 모두 한 직선 위에 있을 때, 선분 $OS$의 길이를 구하여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.
$55 \times 55$의 체스판에 대해, 다음 시행을 생각한다: 몇 개의 칸으로 이루어진 직사각형의 영역을 하나 택하여, 그 영역을 흰색 혹은 검은색으로 칠한다. 모든 칸이 하얗게 칠해져있는 상태에서, 다음 3가지 조건을 만족하는 상태로 바꾸기 위해 필요한 시행의 횟수의 최솟값을 구하여라.
(1) 가장 좌상단에 있는 칸은 검은 색으로 칠해져있다.
(2) 검은색으로 칠해진 칸과 변을 공유하는 칸은 모두 흰색으로 칠해져있다.
(3) 흰색으로 칠해진 칸과 변을 공유하는 칸은 모두 검은색으로 칠해져있다.
$6 \times 6$의 체스판이 있어, 각각의 칸에 1 이상 6 이하의 정수를 써넣는다. 1 이상 6 이하의 정수 $i,j$에 대해, $i$행 $j$열에 있는 정수를 $i \circ j$라 하자. 다음 두 조건을 만족시키도록 정수를 써넣는 경우의 수를 구하여라.
(1) 임의의 1 이상 6 이하의 정수 $i$에 대해, $i \circ i=i$가 성립한다.
(2) 임의의 1 이상 6 이하의 정수 $i,j,k,l$에 대해, $(i \circ j) \circ (k \circ l) = i \circ l$가 성립한다.
다음 조건을 만족시키는 최대의 양의 정수 $m$을 구하여라: 서로 다를 필요는 없는 1 이상 1000 이하인 $2m$개의 정수 $i_1,\cdots,i_m,j_1,\cdots,j_m$이 존재하여, $a_1+\cdots+1_{1000}=1$을 만족시키는 임의의 실수 $a_1,\cdots,a_{1000} \geq 0$에 대해 \[a_{i_1}a_{j_1}+\cdots+a_{i_m}a_{j_m} \leq \frac{1}{2.014}\]가 성립한다.