---

두 양의 정수 $n$과 $k$가 $n\ge k$를 만족한다고 한다. 총 $n$명의 사람이 각각 $1$반부터 $k$반 중 하나에 속해있다고 한다. 각 반에는 적어도 한 명이 있다고 한다. 이때 $n^2$개의 사탕을 아래 조건을 만족하도록 $n$명에게 잘 나누어 줄 수 있음을 증명하라.
(1) 모든 사람이 적어도 하나 이상의 사탕을 받는다.
(2) $i$반에 속한 학생은 정확히 $a_i$개의 사탕을 받는다. ($1\le i\le k$)
(3) 만일 $1\le i < k$이면 $a_i > a_j$이다.
(2013년 2월 11일, 총 4시간, 출처)

다음 조건을 만족시키는 함수 $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$을 모두 구하여라.
모든 정수 $m,n$에 대해 $f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn)$이다.
(단, $\mathbb{Z}$는 모든 정수의 집합이고, $\mathbb{R}$은 모든 실수의 집합이다.)
(2013년 2월 11일, 총 4시간, 출처)

정수 $n\ge 2$에 대해, 다음 두 조건이 성립하도록 양의 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 존재할 양의 정수 $m$ 중 최솟값을 구하여라.
(1) $a_1<a_2<\cdots < a_n=m$
(2) $\frac{a_1^2+a_2^2}{2}$, $\frac{a_2^2+a_3^2}{2}$, $\cdots$, $\frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ 모두 완전제곱수이다.
(2013년 2월 11일, 총 4시간, 출처)

예각삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 하자. 점 $B$, $C$를 지나는 원과 지름이 $AH$인 원이 서로 다른 두 점 $X$, $Y$에서 만난다고 하자. 점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $D$라 하고, 점 $D$에서 직선 $XY$에 내린 수선의 발을 $K$라 하자. 이때 $\angle BKD=\angle CKD$임을 증명하라.
(2013년 2월 11일, 총 4시간, 출처)

양의 정수 $n$이 주어져있다. 어느 3개의 점도 일직선 위에 있지 않은 총 $4n$개의 점 $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_{4n}$에서 모든 $i=1,2,\ldots,4n$에 대해 반직선 $P_iP_{i-1}$을 $P_i$를 중심으로 시계방향으로 $90^\circ$ 회전하면 반직선 $P_i P_{i+1}$과 일치한다고 한다. 이때 $P_iP_{i+1}$과 $P_j P_{j+1}$이 끝점이 아닌 곳에서 만나게 되는 쌍 $(i,j)$의 수(단, $1\le i<j\le 4n$)의 최댓값을 구하여라. (단 $P_{4n}=P_{0}$, $P_{4n+1}=P_1$이라 하자.)
(2013년 2월 11일, 총 4시간, 출처)