2016년 2월 11일 목요일. 4시간동안 5문제. 출처

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$p$는 홀수인 소수이다. 1 이상 $p-1$ 이하인 정수 $k$에 대해, $kp+1$의 약수 중에서 $k$보다 크거나 같고 $p$보다 작은 것의 개수를 $a_k$라 하자. $a_1+a_2+\cdots+a_{p-1}$의 값을 구하여라.

원에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있어 $AB:AD=CD:CB$를 만족한다고 한다. 직선 $AD$와 직선 $BC$는 점 $X$에서, 직선 $AB$와 직선 $CD$는 점 $Y$에서 만난다. 변 $AB,BC,CD,DA$의 중점을 각각 $E,F,G,H$라 하고 $\angle AXB$의 이등분선이 선분 $EG$와 만나는 점을 $S$, $\angle AYD$의 이등분선이 선분 $FH$와 만나는 점을 $T$라 하자. 이 때, 직선 $ST$와 직선 $BD$는 평행임을 보여라.
단, $UV$란 선분 $UV$의 길이를 뜻한다.

$n$을 양의 정수라 하자. JMO 왕국에 $2^n$명의 국민과 1명의 왕이 있다. 또한, JMO 왕국에는 화폐로 $2^n$엔 지폐와 $2^a$엔 동전 ($a=0,1,2,\ldots,n-1$)이 쓰인다고 한다. 모든 국민은 지폐를 얼마든지 가지고 있고, 국민들이 가지고 있는 동전은 총 $S$개였다고 한다. 어느 날 이후로 JMO왕국은 다음과 같은 징세라 불리우는 조작을 매일 시행하기로 했다고 한다:
– 모든 국민은 매일 아침 자신이 가지고 있는 화폐 중 유한 개를 택해, 그 날 밤에 각각의 화폐를 다른 국민이나 왕에게 건넨다.
– 이 때, 모든 국민들은 각각 자신이 준 금액이 받은 금액보다 정확히 1엔 많도록 한다.
JMO 왕국은 영원히 징세를 계속해서 시행할 수 있었다고 한다. 이 때 $S$의 값으로 가능한 값 중 최솟값을 구하여라.

임의의 실수 $x,y$에 대해
\[
f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x
\]
가 성립하는 실수에서 실수로 대응하는 함수 $f$를 모두 구하여라.

$m,n$은 양의 정수로 $m \geq 2, n<\frac{3}{2}(m-1)$이 성립한다고 한다. 어느 나라에 $m$개의 도시와 $n$개의 도로가 있어, 각각의 도로는 2개의 서로 다른 도시를 연결하고 있다. 두 도시를 연결하는 도로는 두 개 이상 있을 수도 있다. 이제, 도시를 2개의 그룸 $\alpha,\beta$로 분류해서, 그룹 $\alpha$의 도시와 그룹 $\beta$의 도시를 연결하는 도로를 전부 고속도로로 만들기로 한다. 이 때, 다음 조건을 만족하는 분류법이 존재함을 보여라: - 두 그룹은 각각 도시를 1개 이상 포함한다. - 모든 도시에 대해서 그 도시와 연결된 고속도로는 1개 이하이다.