1988 제1회 한국수학올림피아드 최종시험

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1988 제1회 한국수학올림피아드 최종시험, 4.5 out of 5 based on 2 ratings

$a^2+b^2+c^2+d^2 = a^2b^2c^2$을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 짝 $(a, b, c, d)$를 모두 구하여라.

모든 실수 $x$에 대하여 방정식 \[x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4\]를 만족시키는 실수치 함수 $f(x)$를 모두 구하여라.

(1988년 4월 30일)

$\overline{BC}=a$, $\overline{CA}=b$, $\overline{AB}=c$인 $\triangle ABC$의 내부의 한 점 $P$에서 각 변 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $A’, B’, C’$이라 하고 $\overline{B’C’}=a’$, $\overline{C’A’}=b’$, $\overline{A’B’}=c’$이라 할 때 \[\frac{a’}a + \frac{b’}b+\frac{c’}c < 2\]이 성립함을 증명하여라.

(1988년 4월 30일)

$a_0=0, a_1=a_2=1$ 이고 \[a_{n+1} = a_n + a_{n-1}, \qquad n\geq 1\]인 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) 임의의 자연수 $j, k$에 대하여 \[a_{j+k} = a_j a_{k-1} + a_{j+1} a_k\]이 성립함을 밝혀라.
(2) 임의의 자연수 $k, n$에 대하여 $a_{kn}$은 $a_k$로 나누어 짐을 밝혀라.
(3) 서로 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1}$ 서로 소임을 밝혀라.

(1988년 5월 1일)

반지름의 길이가 $R$인 구면 위에 동일 대원 위에 있지 않은 세 점 $A, B, C$가 있다. 각 두 점을 지나는 대원의 열호로 이루어진 구면삼각형 $ABC$의 각 꼭지각(꼭지점에저의 두 대원의 접선이 이루는 각)을 각각 $\alpha, \beta , \gamma$라 한다. 구면삼각형 $ABC$의 면적 $S$를 $\alpha, \beta , \gamma, R$로 나타내어라.
단, $\alpha, \beta, \gamma$는 호도법으로 나타낸 각이다.

(1988년 5월 1일)

어떤 도시에 다음 조건을 만족시키는 버스 노선 (두 개 이상)이 있다.
(1) 각 노선은 꼭 3개의 정류장이 있다.
(2) 어떤 두 노선도 꼭 한 개의 정류장을 공유한다.
(3) 주어진 어떤 두 정류장도 이를 연결하는 단 하나의 노선이 있다.
이 시에는 몇 개의 버스 노선이 있는가 ?

(1988년 5월 1일)

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