1990년 4월 14일-15일. 하루 4시간 30분에 3문제씩.

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다음 등식을 증명하여라. \[\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} \binom nk =
\frac {2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!}\]\[\sum_{i=k}^n \binom ik = \binom {n+1}{k+1}
\] 단, $\binom mn = \frac{m!}{(m-n)! n!}$ 이다.

공간의 $n$개의 점 $P_i (x_i, y_i, z_i)\ (i=1, 2, \cdots , n)$의 중심을 \[\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n x_i,\ \frac 1n\sum_{i=1}^n y_i,\ \frac 1n\sum_{i=1}^nz_i\right)\]로 정의한다. 공간에 $p\ (p>2)$개의 점 $A_{11}, A_{12}, \cdots , A_{1p}$가 주어져 있다. $i=1, 2, \cdots , p$에 대해서 점 $A_{1i}$를 제외한 나머지 $p-1$개의 점의 중심을 $A_{2i}$라 한다. 일반으로 $n=1, 2, 3, \cdots $에 대하여 $p$개의 점 $A_{n1}, A_{n2}, \cdots , A_{np}$에서 점 $A_{ni}$를 제외한 나머지 $p-1$개의 점의 중심을 각각 $A_{n+1, i}\ (i=1, 2, \cdots , p)$라 한다. $\lim\limits_{n\to\infty} A_{ni}$를 구하여라.

$a, b$ ($b\ge 2$)를 최대 공약수가 $d$인 양의 정수라 한다. \[\sum_{n=1}^{b-1} \Big[\frac{an}b\Big]=\frac{(a-1)(b-1)}2 + \frac {d-1}2\]임을 증명하여라. 단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.

삼각형 $ABC$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$, 세 개의 방접원의 반지름의 길이를 각각 $r_A, r_B, r_C$라 할 때 \[\frac 1{r_A}+\frac 1{r_B} + \frac 1{r_C}=\frac 1r\]임을 밝혀라.

1000개의 원소를 가진 집합을 서로 소인 $m+1$개의 부분집합으로 나누었다. 이들 집합 중에서 원소의 개수가 최소인 것은 $n$개의 원소를 가지고, 원소의 개수가 최대인 것은 $n+m$개의 원소를 가지며 원소의 개수가 같은 부분집합은 없다고 한다. 이렇게 나눌 수 있는 모든 $m, n$의 값을 구하여라.

(1) $i=1, 2, 3, \cdots $ 에 대하여 $P_i = \{x \,|\, \frac{i(i-1)}2 <x\le \frac{i(i+1)}2, x$는 자연수$\}$ 이라 할 때, $i\ne j$이면 $P_i \cap P_j=\phi$(공집합)임을 밝혀라.
(2) $N$은 자연수의 집합 $\{1, 2, 3, \cdots \}$ 이라 한다. $N\times N$에서 정의되고 $N$의 값을 가지는 함수 $f$가 \[f(m, n) =\frac 12 (m+n-2)(m+n-1)+m\]로 정의 되어 있다.
$f(m, n)=f(p, q)$이면, $m=p, \quad n=q$임을 밝혀라.