1992년 4월 18일~19일. 하루 3문제 4시간 30분씩.
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$x_0$를 홀수인 자연수라고 하고, $x_i=\frac{3x_{i-1}+1}{2}$ ($i=1,2,\ldots$)라고 정의할 때, $x_n$이 짝수가 되는 자연수 $n$이 존재함을 보여라.
양의 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$이 \[a_1+a_2+\cdots+a_n\le \frac{a_{n+1}}{2}\]을 만족시킨다고 한다. 모든 자연수 $n$에 대하여 \[ \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_n}\le C\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}\]를 만족시키는 최소의 상수 $C$의 값을 구하여라.
좌표 평면에서 꼭지점의 좌표가 모두 정수이고 각 변의 길이가 모두 정수인 삼각형들의 집합을 $T$라고 한다. $T$에 속하는 임의의 이등변 삼각형은 $T$에 속하는 두 개의 서로 합동인 직각 삼각형을 붙여 놓은 것임을 보여라.
$f(x)=x+x^2+x^3+\cdots$에 대하여, 정수 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$가 \[x=a_1f(x)+a_2f(x^2)+a_3f(x^3)+\cdots\]를 만족시킨다고 할 때, $r$과 $s$가 서로 소이면 $a_{rs}=a_r a_s$임을 보이고, $a_{1992}$를 구하라.
자연수 $n$에 대하여 $I_n=\{1,2,\ldots,n\}$이라고 하자. 임의의 소수 $p\in I_n$에 대하여 원소의 개수가 $n-[n/p]+1$인 임의의 $I_n$의 부분집합 $S$에는 $a|b$를 만족시키는 두 원소 $a$, $b$가 존재함을 보여라. 단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.
원점 $O$를 중심으로 하는 원 $w$ 위에 두 점 $A_1$, $A_2$가 주어져 있고, 선분 $OA_1$, $OA_2$를 지름으로 하는 원을 각각 $w_1$, $w_2$라고 한다. 원 $w$와 점 $P$에서 외접하고, $A_1$, $A_2$에서 원 $w$에 그은 접선에 각각 점 $B_1$, $B_2$에서 접하는 원을 $w’$이라고 한다. 선분 $OB_1$, $OB_2$이 원 $w_1$, $w_2$와 만나는 점을 각각 $Q$, $R$이라고 할 때, 세 점 $P$, $Q$, $R$을 지나는 원은 원 $w$에 내접하고 원 $w_1$, $w_2$에 외접함을 보여라.