1993년 4월 17일-18일. 하루 3문제 4시간 30분씩.
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가로 세로 $9$칸씩으로 된 $9\times 9=81$의 흰색으로 된 바둑판 꼴의 정사각형이 있다. 다음 성질을 만족시키는 최대의 자연수 $n$을 구하여라. 성질: $81$개의 작은 정사각형 중에서 $n$개를 어떠한 방법으로 골라서 검은 색으로 칠해도 부분적으로는 항상 $1\times 4$ 꼴의 흰색 정사각형이 존재한다. 단, 여기서 $1\times 4$ 꼴이란 
또는 
인 모양을 뜻한다.
$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$인 삼각형 $ABC$가 주어져 있다. \[ a\cdot AP^2+b \cdot BP^2+c\cdot CP^2\]을 최소로 하는 점 $P$와 그 최소값을 구하여라.
$\frac{7x^{25}-10}{83}$이 정수가 되는 최소의 양의 정수 $x$를 구하여라.
$x$, $y$, $z$는 자연수이고, 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 $x$, $y$이고 빗변의 길이가 $z$인 직각삼각형의 넓이가 피타고라스 수라 한다. $n\gt 12$인 모든 $n$과 $2n$ 사이에는 적어도 하나의 피타고라스 수가 존재함을 밝혀라.
자연수 $n$이 주어져 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 $f(x)$를 구하여라. \[ \binom{n}{0}f(x)+\binom{n}{1}f(x^2)+\binom{n}{2}f(x^{2^2})+\cdots+\binom{n}{n-1}f(x^{2^{n-1}})+\binom{n}{n} f(x^{2^n})=0.\]
$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$인 삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $D$, 각 $A$의 이등분선과 변 $BC$의 교점을 $E$라 한다. 세 점 $A$, $D$, $E$를 지나는 원이 변 $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $F$, $G$라 하고 변 $AB$ 위에 $BG=GH$ 즉 $BH=2BG$되게 점 $H$를 잡는다. 이때 삼각형 $EBH$와 삼각형 $ABC$는 닮음꼴임을 증명하고 두 삼각형의 넓이의 비 $\frac{(\triangle EBH)}{(\triangle ABC)}$를 구하여라. 단 $(\triangle ABC)$는 삼각형 $ABC$의 넓이를 뜻한다.