---

음이 아닌 정수의 집합을 $S$라 할 때, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $$f : S\to S, \ g: S\to S, \ h: S\to S$$를 모두 구하여라.
(i) 임의의 $m, n\in S$에 대하여 $$f(m+n)=g(m)+h(n)+2mn$$
(ii) $g(1)=h(1)=1$.

(1994년 4월 16일)

임의의 삼각형의 세 내각의 크기를 $\alpha, \beta, \gamma$라 할 때 $$csc^2 \frac{\alpha}2 +csc^2\frac {\beta}2+csc^2\frac{\gamma}2\geq 12$$임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 찾아라.

(1994년 4월 16일)

삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$, 외접원의 반지름을 $R$ 라 하고, 세 개의 방심을 $A’, B’, C’$이라 한다. 삼각형 $A’B’C’$의 외심을 $O’$, 외접원의 반지름을 $R’$이라 할 때 다음을 증명하여라.

(i) $ \quad R’=2R$
(ii) $\overline{IO’}= 2 \overline{IO}$

(1994년 4월 16일)

어떤 정수 $k$에 대해서도 방정식 $y^2-k=x^3$은 다음 5개의 정수해 $$(x_1, y_1),  (x_2, y_1-1), (x_3, y_1-2), (x_4, y_1-3), (x_5, y_1-4)$$를 가질 수 없음을 보이고, 만일 4개의 정수해 $$(x_1, y_1), \ (x_2, y_1-1), \ (x_3, y_1-2), \ (x_4, y_1-3)$$를 가지면 $k\equiv 17 \pmod{63}$임을 밝혀라.

(1994년 4월 17일)

$\mathbb N$을 자연수의 집합이라고 하자. $S\subset \mathbb N$인 집합 $S$와 $n\in \mathbb N$에 대하여 집합 $S\oplus \{n\}$을 $S\oplus \{n\}=\{s+n | s\in S\}$로 정의한다. 집합 $S_k$를\[S_1  =  \{1\}\], \[S_k  =  (S_{k-1} \oplus \{k\}) \cup \{2k-1\}\quad (k=2, 3, 4\cdots )\]라 할 때,
(i) $\mathbb N-\cup_{k=1}^{\infty} S_k$를 구하여라.
(ii) $1994 \in S_n$ 인 $n$을 모두 구하여라.
(1994년 4월 17일)

삼각형 $ABC$에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(i) $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=1-2\cos A\cos B\cos C$임을 증명하여라.

(ii) $\cos A : \cos B : \cos C = 39:33:25$ 일 때 $\sin A : \sin B : \sin C$
를 구하여라.

(1994년 4월 17일)