1996 제9회 한국수학올림피아드 최종시험

GD Star Rating
loading...

정사각형을 $n$개의 작은 정사각형의 조각으로 나누고자 한다. 이것이 가능하지 않는 $n$의 최대값을 구하고 그 이유를 밝혀라.

(1996년 4월 13일)

$n$을 $n\ge 1996$인 자연수라고 하자. $(x+y)^n$을 이항전개하였을 때,
모든 계수가 홀수가 되는 $n$의 최소값을 구하여라.

(1996년 4월 13일)

주어진 삼각형 $ABC$와 만나지 않는 직선 $l$이 있다. 점 $A, B, C$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $L, M, N$이라고 하고, 점 $L, M, N$에서 각각 직선 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $X, Y, Z$라 한다. 세 직선 $LX, MY, NZ$가 한 점에서 만남을 증명하여라.

(1996년 4월 13일)

$A$는 4 자리의 자연수이고 $B$는 $A$의 자리수를 반대로 나열한 4자리의 자연수이다. $A$와 $B$의 최대공약수는 소수이고 $B$를 이 소수로 나눈 몫은 $A+2$라고 한다. 이러한 모든 $A$의 값을 구하여라.

(1996년 4월 14일)

반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 $\alpha (0<\alpha <\frac{\pi}2)$인 부채꼴 $OAB$가 주어져 있다. 호 $AB$ 위의 점 $P$에서 출발한 빛이 변 $OB$위의 점 $Q$와 변 $OA$위의 점 $R$과 점 $P$에서 반사하여 $$P\to Q\to R\to P\to Q\to R\to$$ 와 같이 진행할 때 삼각형 $PQR$의 둘레의 길이는 $P$의 위치에 관계없이 일정함을 보이고 그 값을 구하여라.

(1996년 4월 14일)

함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$은 실수전체의 집합)가 다음 두 조건을 만족시키고 있다.
(i) $f(0)=0,\ f(1)=1$
(ii) $x\ne 0$ 일 때 $f(x^2+\frac 1x)=\{f(x)\}^2+f(\frac 1x)$
이 때, 함수 $f$는 최대값을 갖지 않음을 증명하여라.

(1996년 4월 14일)

답글 남기기