1998년 4월 18일-19일. 첫째날: 1번~3번문제, 둘째날: 4번~6번문제. 4시간 30분씩.
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$(\ell+m+n)\left( \frac1\ell +\frac1m+\frac1n\right)$이 자연수이고, $\ell$, $m$과 $m$, $n$과 $n$, $\ell$이 각각 서로 소인 세 자연수 $\ell$, $m$, $n$을 모두 구하라.
원 $O$에 내접하는 $\triangle ABC$의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위의 꼭지점이 아닌 임의의 점 $D$, $E$, $F$를 각각 잡고, 선분 $AD$, $BE$, $CF$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$, $R$이라고 할 때 \[ \frac{AD}{PD}+\frac{BE}{QE}+\frac{CF}{RF}\ge 9\]임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우의 삼각형의 모양과 점 $D$, $E$, $F$의 위치를 밝혀라.
자연수 $n$에 대하여 $n$과 서로 소인 $n$ 이하의 자연수의 개수를 $\phi(n)$, $n$의 소인수의 개수를 $\phi(n)$이라고 하자. $\phi(n)$이 $n-1$의 약수이고 $\phi(n)\le 3$이면 $n$이 소수임을 증명하라.
$a+b+c=abc$를 만족시키는 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 \[\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le \frac{3}{2}\]임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 찾아라.
$\triangle ABC$의 내심을 $I$, 점 $B$를 지나고 $I$에서 직선 $CI$에 접하는 원을 $O_1$, 점 $C$를 지나고 $I$에서 직선 $BI$에 접하는 원을 $O_2$라고 하자. $\triangle ABC$의 외접원과 원 $O_1$, $O_2$는 한 점에서 만남을 증명하라.
자연수 $n$에 대하여 다음의 두 조건을 만족시키는 전단사(일대일 대응) 함수 $f:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ 전체의 집합을 $F_n$이라고 하자.
(1) $f(k)\le k+1$ ($k=1,2,\ldots,n-1$),
(2) $f(k)\neq k$ ($k=2,\ldots,n$).
$F_n$의 원소 $f$를 임의로 뽑을 때 $f(1)\neq 1$일 확률을 구하여라.