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두 개의 삼각형 $ABC$와 $A’B’C’$의 외접원과 내접원의 반지름의 길이를 각각 $R$, $r$과 $R’$, $r’$이라고 할 때, 각 $C$와 $C’$이 같고 $Rr’=R’r$이면 두 삼각형이 서로 닮은 꼴임을 보여라.
(1999년 4월 17일, 출처4시간 30분)

모든 자연수 $m$, $n$에 대하여 $\lvert f(m+n)-f(m)\rvert \le n/m$을 만족시키는 함수 $f(x)$가 있다. 이 때, 모든 자연수 $k$에 대하여 부등식 \[ \sum_{i=1}^k \lvert f(2^k)-f(2^i)\rvert \le \frac{k(k-1)}{2}\]이 성립함을 보여라.
(1999년 4월 17일, 출처4시간 30분)

다음의 조건을 만족시키는 자연수 $n$을 모두 구하여라.
(조건) $2^n-1$이 $3$의 배수이고, $(2^n-1)/3$이 적당한 정수 $m$에 대하여 $4m^2+1$의 약수이다.
(1999년 4월 17일, 출처4시간 30분)

$\lvert x\rvert \neq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 \[ f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\]를 만족시키는 함수 $f(X)$를 모두 구하여라.
(1999년 4월 18일, 출처4시간 30분)

$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$의 순열 중에서 서로 다른 두 항씩 자리를 바꾸는 조작을 $4$회 시행하여 $123456$을 복원할 수 있으며 $3$회 이하의 시행으로는 복원이 불가능한 순열 $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$을 생각하자. 이러한 순열의 개수를 구하여라.
(1999년 4월 18일, 출처4시간 30분)

다음의 두 조건
(1) $a_1+a_2+\cdots+a_{1999}=2$,
(2) $a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{1998}a_{1999}+a_{1999}a_1=1$
을 만족시키는 1999개의 음이 아닌 실수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{1999}$의 제곱의 총합을 $S$라고 할 때, $S$의 최대값과 최소값을 구하여라.
(1999년 4월 18일, 출처4시간 30분)