1일 (2002년 4월 13일): 1번~3번문제, 4시간 30분.
2일 (2002년 4월 14일): 4번~6번문제, 4시간 30분.
최우수상(1명)
이해강(서울과학고2)
우수상(36명, 가나다순)
권영대(전북과학고3) 김건형(경기과학고1) 김경주(대구과학고2) 김근호(동북고3) 김다미(한성과학고2) 김린기(유성고3) 김명수(양정고1) 김병혁(전북과학고2) 김재우(서울과학고3) 김진섭(인천과학고3) 김현규(대전과학고1) 류동관(안양고3) 민준철(광주과학고3) 서인석(서울과학고2) 손민주(서울과학고2) 오찬우(서울과학고2) 유명준(인천과학고2) 윤여일(윤중중3) 이기승(서울과학고1) 이상진(대전과학고3) 이승진(경기고1) 이영재(부산과학고3) 이재성(과천고3) 정석종(서울과학고2) 정영헌(광남중2) 정준혁(서울과학고1) 조승연(서울과학고2) 조현석(대전과학고2) 최경수(유신고1) 최원묵(대전과학고2) 추성원(부산과학고1) 허예솔(경기과학고2) 허재혁(서울과학고2) 홍세린(서울과학고2) 홍한솔(강원과학고3) 황선웅(경남과학고2)
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$12k+1$ 꼴의 소수 $p$에 대하여 $\mathbb Z_p=\{0,1,2,\ldots,p-1\}$이라 하고 \[ \mathbb{E}_p=\{(a,b) \mid a,b\in \mathbb{Z}_p, ~ 4a^3+27b^2\not\equiv 0\pmod p\}\]라 하자. $\mathbb{E}_p$의 두 원소 $(a,b)$, $(a’,b’)$에 대하여 \[a’\equiv ac^4, b’\equiv bc^6\pmod p\]를 만족시키는 $c\in \mathbb{Z}_p$, $c\neq 0$인 $c$가 존재할 때, 두 원소 $(a,b)$, $(a’,b’)$가 서로 닮았다고 정의한다. 서로 닮지 않은 원소들로만 이루어진 $\mathbb{E}_p$의 부분집합들 중에서 원소가 가장 많은 것의 원소의 개수를 구하여라. 단, 정수 $x$, $y$에 대하여 $x\equiv y\pmod p$는 $x-y$가 $p$의 배수임을 뜻한다.
함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$가 모든 $x\in \mathbb R$과 모든 $y\in\{ f(x) \mid x\in \mathbb R\}$에 대하여 \[ f(x-y)=f(x)+xy+f(y)\]를 만족시킨다. 이러한 함수 $f$를 모두 구하여라. 단, $\mathbb R$은 실수 전체의 집합이다.
어느 수학경시대회의 채점결과 다음과 같은 세 가지 사실을 관찰하였다.
(i) 전체 문항 수는 $n$이다. 단 $n\ge4$.
(ii) 각 문항은 정확히 네 명의 학생이 풀었다.
(iii) 어떤 두 문항에 대하여도, 이를 모두 푼 학생은 꼭 한 명뿐이다.
이 경시대회에서 어떤 경우에도 모든 문항을 다 푼 학생이 항상 존재하기 위한 $n$의 최소값을 구하여라. 단, 이 경시대회에 참가한 학생수는 $4n$명 이상이라고 가정한다.
양의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$과 서로 다른 양의 실수 $b_1,b_2,\ldots,b_n$에 대하여 $S=a_1+a_2+\cdots+a_n$, $T=b_1b_2\ldots b_n$이라 하자. 단, $n\ge 2$.
(1) 다항식 $f(x)=(x-b_1)(x-b_2)\cdots (x-b_n)\sum_{j=1}^n \frac{a_j}{x-b_j}$의 서로 다른 실근의 개수를 구하여라.
(2) 부등식 \[\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n \left(1-\frac{a_j}{S}\right)b_j \gt \left\{\frac{T}{S} \sum_{j=1}^n \frac{a_j}{b_j}\right\}^{\frac{1}{n-1}}\]을 증명하여라.
어떤 예각삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 연장선이 삼각형 $ABC$의 외접원 $O$와 만나는 점을 $D$, 원 $O$ 위의 어떤 점 $P$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하자. 점 $Q$가 원 $O$의 외부에 있고 $2\angle QPB=\angle PBC$을 만족시키면, 세 점 $D$, $P$, $Q$가 일직선 위에 있음을 보여라.
소수를 작은 것부터 차례로 $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $\ldots$라 하자.
(1) 주어진 자연수 $n\ge 10$에 대하여, $r$을 $2\le r\le n-2$와 $n-r+1\lt p_r$을 동시에 만족시키는 최소의 정수라 하자. 모든 $s=1,2,\ldots,p_r$에 대하여 $N_s=(sp_1p_2\cdots p_{r-1})-1$로 정의할 때, $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ 중 어떤 수도 약수로 가지지 않는 $N_j$가 존재함을 보여라. 단, $1\le j\le p_r$.
(2) (1)의 결과를 써서 부등식 $p_{m+1}^2\lt p_1p_2\cdots p_m$을 만족시키는 자연수 $m$을 모두 구하여라.