최우수상(1명)
김병혁(전북과학고3)
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어떤 전산실의 컴퓨터들이 다음과 같이 네트워크를 이루고 있다. 각각의 컴퓨터는 세 개의 케이블을 통하여 세 대의 다른 컴퓨터 와 직접 연결되어 있고, 임의의 두 컴퓨터는 직접 또는 (다른 컴퓨터들을 거쳐) 간접적으로 연결되어 서로 데이터를 주고 받을 수 있다. 이제 이 컴퓨터들 중 $K$대를 제거하여 서로 데이터를 주고받을 수 없는 두 대의 컴퓨터가 존재하거나 한 대의 컴퓨터만 남도록 하는 $K$의 최소값을 $k$라 하고, 한편 케이블 중 $L$개를 제거하여 서로 데이터를 주고 받을 수 없는 두 대의 컴퓨터가 존재하도록 하는 $L$의 최소값을 $\ell$이라고 하자. 이때, $k = \ell$임을 보여라.
(2003년 4월 12일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
$\angle A\lt 90^\circ$인 마름모 $ABCD$의 두 대각선 $AC$, $BD$의 교점을 $M$이라고 하고, 선분 $MC$ 위의 점 $O$를 $OB\lt OC$가 되도록 잡아 $\frac{MA}{MO}=t$라 하자. 단 $O\neq M$이다. 점 $O$를 중심으로 하고 두 점 $B$, $D$를 지나는 원이 직선 $AB$와 만나는 점을 $B$, $X$ (직선 $AB$가 이 원과 접할 경우에는 $X=B$임), 직선 $BC$와 만나는 점을 $B$, $Y$라 하자. 두 직선 $DX$, $DY$가 선분 $AC$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 할때, $\frac{OQ}{OP}$를 $t$의 식으로 나타내어라.
(2003년 4월 12일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
방정식 $2x^4+2x^2y^2+y^4=z^2$은 $x \neq 0$인 정수해를 갖지 않음을 보여라.
(2003년 4월 12일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $AB$, $BC$, $CA$와 접하는 점을 각각 $P$, $Q$, $R$이라 할때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \frac{BC}{PQ}+\frac{CA}{QR}+\frac{AB}{RP}\ge 6.\]
(2003년 4월 13일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
양의 정수 $m$에 대하여 다음에 답하여라.
(a) $2^{m+1}+1$이 $3^{2^m}+1$의 약수이면, $2^{m+1}+1$은 소수임을 보여라.
(b) (a)의 역은 성립하는가?
(2003년 4월 13일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
원주 위에 서로 다른 $n$개의 점이 놓여있다. 이 점들 중 임의의 한 점에서 시작하여 그 점과 그 점으로부터 시계반대방향으로
$m$번째 점을 선분으로 연결하고, 이 $m$번째 점과 이 점으로부터 시계반대방향으로 $m$번째 점을 선분으로 연결하고,… 이러한 과정을 새로운 선분이 생기지 않을 때까지 되풀이하자. 이렇게 그려진 선분들의 교점 중, 원의 내부에 있는 것들의 개수를 $I$라 할때, 다음에 답하여라. 단, $m$, $n$은 서로 소인 양의 정수로서 $6\le 2m\lt n$을 만족한다.
(a) 원주 위에 놓인 서로 다른 $n$개의 점의 위치가 변할때, $I$가 취할 수 있는 최대값을 $m$, $n$의 식으로 나타내어라.
(b) 부등식 $I≥n$이 항상 성립함을 보이고, $m=3$이고 $n$이 위의 조건을 만족시키는 임의의 짝수일 때 $I=n$인 경우가 존재함을 보여라.
(2003년 4월 13일, 4시간 30분, 3문제, 출처)