---

두 변 $AB$와 $AC$의 길이가 같은 이등변삼각형 $ABC$에 내접하는 원 $O$가 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 $K$, $L$, $M$에서 만난다. 직선 $OL$이 $KM$과 만나는 점을 $N$이라 하고, 직선 $BN$이 변 $CA$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 점 $A$에서 직선 $BQ$에 내린 수선의 발을 $P$라 할 때, 등식 $BP = AP + 2PQ$가 성립한다고 한다. 이 때, $\frac{AB}{BC}$의 값은 어떤 값들이 있겠는가?
(2004년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

방정식 $3y^2=x^4+x$는 양의 정수해를 갖지 않음을 보여라.
(2004년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

$2004$대의 컴퓨터를 케이블로 연결하여 컴퓨터 연결망을 구성하였다.
이 컴퓨터들의 집합의 부분집합 $S$에 대하여 $S$의 어떤 두 컴퓨터도 하나의 케이블로 직접 연결되지 않았을 때 $S$를 독립집합이라 하자. 임의의 독립집합의 원소의 개수가 $50$을 넘지 않도록 하고, 이때 사용된 케이블의 개수를 최소로 하였다.
(1) 컴퓨터 $L$에 장착된 케이블의 수를 $c(L)$로 나타낼 때, 두 컴퓨터 $A$와 $B$에 대하여, 그 둘이 하나의 케이블로 직접 연결되어 있으면 $c(A)= c(B)$이고, 서로 직접 연결되지 않았다면 $\lvert c(A)−c(B)\rvert \le 1$임을 보여라.
(2) 이 때 사용된 케이블의 총 개수를 구하여라.
(2004년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

원주 위에 서로 다른 번호가 매겨진 $n$개의 점이 있다. 이 점 중 $k$개의 점을 택하는 방법 중에서, 택하여진 임의의 점으로부터 시계방향으로 가장 가까운, 택하여진 점 사이에는 반드시 $3$개 이상의 점이 놓이도록 택하는 방법의 수를 구하여라. 단 $n$과 $k$는 $2$ 이상의 정수이다.
(2004년 4월 11일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

예각삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$이라 하자. 각 $A$가 삼각형 $ABC$의 세 내각 중 최대의 각이라 하자.
변 $BC$의 중점을 $M$이라 하고, 두 점 $B$, $C$를 지나고 외접원에 접하는 두 직선의 교점을 $X$라 할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \frac{r}{R}\ge \frac{AM}{AX}.\]
(2004년 4월 11일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

소수 $p$에 대하여 \[f_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\]이라 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 양의 정수 $m$이 $p$의 배수일 때, $m(m-1)$과 서로소이면서 $f_p(m)$을 나누는 소수가 존재함을 보여라.
(2) $pn+1$이 소수가 되는 양의 정수 n이 무한히 많음을 보여라.
(2004년 4월 11일, 4시간 30분, 3문제, 출처)