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다섯 개 이하의 양의 정수의 제곱들의 합으로 표현하는 방법이 꼭 하나뿐인 정수 $n$을 모두 구하여라. 단, 합하는 순서가 바뀐 것은 같은 방법으로 본다.
(2005년 4월 9일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

모든 항이 양의 실수인 무한수열 $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$을 생각하자.임의의 양의 정수 $N$에 대하여,다음의 부등식을 증명하여라. \[\sum_{n=1}^N \alpha_n^2\le 4\sum_{n=1}^N \alpha_n^2.\] 단, $\alpha_n$은 $a_1,a_2,\ldots,a_n$의 산술평균, 즉 \[ \alpha_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\]이다.
(2005년 4월 9일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

두 변 $AD$와 $BC$가 평행인 사다리꼴 $ABCD$에 대하여, 선분 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$를 지름으로 하는 원을 각각 $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$라 하자. 이들 네 개의 원들에 모두 외접하고, 그 중심이 사다리꼴 $ABCD$의 내부에 있는 원 $O$가 존재할 필요충분조건은 사각형 $ABCD$가 평행사변형임을 보여라.
(2005년 4월 9일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

직각 삼각형 $ABC$의 외접원을 $O$라 하고, $\angle A=90^\circ$, $\angle B\gt \angle C$라 하자. 점 $A$, $B$에서 원$O$에 접하는 접선들을 각각 $\ell_A$, $\ell_B$라 하고, 직선 $BC$와 $\ell_A$의 교점을 $S$, 직선 $AC$와 $\ell_B$의 교점을 $D$, 직선 $AB$와 $DS$의 교점을 $E$, 직선 $CE$와 $\ell_A$의 교점을 $T$라 하자. 점 $E$에서 직선 $\ell_A$에 내린 수선의 발을 $P$라 하고, 직선 $CP$와 원 $O$의 교점을 $Q$(단, $Q\neq C$), 직선 $QT$와 원 $O$의 교점을 $R$, 직선 $BR$과 $\ell_A$의 교점을 $U$라 하자. 이때, 다음의 등식을 증명하여라. \[ \frac{SU\cdot SP}{TU\cdot TP}=\frac{SA^2}{TA^2}.\]
(2005년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

두 정수 $3^m+1$과 $3^n+1$이 모두 $mn$의 배수가 되는 양의 정수쌍 $(m,n)$은 $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,1)$뿐임을 보여라.
(2005년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

서로 다른 $2005$개의 소수들로 이루어진 집합 $P$를 생각하자. 집합 $A$는 서로 다른 $1002$개의 $P$의 원소들의 곱으로 나타낼 수 있는 모든 양의 정수들의 집합이고, 집합 $B$는 서로 다른 $1003$개의 $P$의 원소들의 곱으로 나타낼 수 있는 모든 양의 정수들의 집합이다. 다음의 조건을 만족시키는 일대일 함수 $f:A\to B$가 존재함을 보여라.
(조건) 모든 $a\in A$에 대하여 $a$는 $f(a)\in B$의 약수이다.
(2005년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)