2006 제19회 한국수학올림피아드 최종시험

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삼각형 $ABC$의 내접원 $I$가 변 $BC$, $CA$, $AB$와 접하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고, 선분 $AD$가 내접원 $I$와 만나는 점을 $P$라 하자($P\neq D$). 점 $P$를 지나고 선분 $AD$와 수직인 직선이 직선 $EF$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 직선 $AQ$가 직선 $DE$, $DF$와 만나는 점을 각각 $X$, $Y$라 할 때, 점 $A$는 선분 $XY$의 중점임을 보여라. (단, $\angle B\neq \angle C$이다.)
(2006년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

양의 정수 $a$에 대하여 집합 $S_a$를 다음 조건을 만족하는 소수 $p$ 전체의 집합이라 하자.
(조건) 적당한 홀수 $b$가 존재하여 $p$는 $(2^{2^b})^b-1$의 약수이다.
임의의 양의 정수 $a$에 대하여, 집합 $S_a$에 속하지 않는 소수가 무한히 많음을 보여라
(2006년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

학교 당 5명씩 참가하는 학교대항 바둑대회에 세 학교 $A$, $B$, $C$가 참가하였다. 세 학교 $A$, $B$, $C$의 선수들을 $1$번부터 $5$번까지 순서를 정 해 각각 \[ a_1,a_2,\ldots,a_5; b_1,b_2,\ldots,b_5;c_1,c_2,\ldots,c_5\]라 부르자. 다음 규칙대로 대회가 진행된다고 할 때, 대회 종료 시 학교 $A$, $B$, $C$가 얻을 점수를 각각 $P_A$, $P_B$, $P_C$로 나타내자. 이때, 나타날 수 있는 순서쌍 $(P_A,P_B,P_C)$의 개수를 $8$로 나눈 나머지를 구하여라.
1) 각 학교의 선수들은 $1$번부터 순서대로 바둑대결 에 나서고 한번 지면 탈락한다. 대회의 첫 대결은 $a_1$과 $b_1$이 한다.
2) $X$학교 $i$번 선수 $x_i$와 $Y$학교 $j$번선수 $y_j$의 대결에서 $y_j$가 이긴 경우, $X$, $Y$가 아닌 다른 학교($Z$라 하자)에 남은 선수가 있으면 $y_j$는 계속해서 $Z$ 학교의 선수와 대결하고 $Z$ 학교에 남은 선수가없고 $X$ 학교에 선수가 남아 있으면 $y_j$는 $x_{i+1}$과 대결한다. 세 학교 중 두 학교에 남은 선수가 없으면 대회가 종료된다.
3) 대결에서 $X$ 학교의 $x_i$가 이기면 $X$가 $10^{i-1}$점을 얻는다.
(2006년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

서로 다른 3개의 실수 $a_1$, $a_2$, $a_3$에 대하여 $b_1$, $b_2$, $b_3$를 다음과 같이 정의하자.
\[ b_j=\left( 1+\frac{a_ja_i}{a_j-a_i}\right)\left( 1+\frac{a_ja_k}{a_j-a_k}\right)\quad i,j,k=1,2,3\]
이ㄷ 때, 부등식 \[ 1+\lvert a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\rvert \le (1+\lvert a_1\rvert)(1+\lvert a_2\rvert)(1+\lvert a_3\rvert)\]이 성립함을 보여라. 또 등호가 성립할 필요충분조건을 구하여라.
(2006년 3월 26일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

볼록육각형 $ABCDEF$에 대하여 세 삼각형 $ABC$, $CDE$, $EFA$가 닮은꼴이다. 즉, \[\angle BAC=\angle DCE=\angle FEA\]\[\angle BCA=\angle DEC=\angle FAE\]이다. 이 세 삼각형이 어떤 삼각형이어야 삼각형 $ACD$가 정삼각형일 필요충분조건이 삼각형 $BDF$가 정삼각형인 것이 되는가?
(2006년 3월 26일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

양의 정수 $N$이 다음 두 성질을 만족하면 “$n$-좋은수”라 한다.
(성질 1) $N$은 $n$개 이상의 서로 다른 소수로 나누어진다.
(성질 2) $N$을 나누는 서로 다른 $n$개의 양의 정수 $1,x_2,\ldots,x_n$이 존재하여 \[1+x_2+\cdots+x_n=N\]을 만족한다.
양의 정수 $n$이 $6$ 이상이면 $n$-좋은수가 언제나 존재함을 보여라.
(2006년 3월 26일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

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