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예각삼각형 $ABC$의 외접원 $O$에 대하여, 원 $O$와 점 $A$에서 접하고, 변 $BC$에 접하는 원을 $O’$이라 하자. 원 $O’$이 $BC$에 접하는 점을 $D$라고 하고, 직선 $AB$와 $AC$가 원 $O’$과 만나는 점을 각각 $E$와 $F$라 하자. 직선 $OO’$과 원 $O’$의 교점을 $A'(\neq A)$이라 하고, 직선 $EO’$과 원 $O’$의 교점을 $G(\neq E)$, 두 직선 $BO$ 와 $A’G$의 교점을 $H$라고 할 때,\[DF^2=AF\cdot GH \]가 성립함을 보여라.
(2007년 3월 24일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

아래 그림과 같은 모양으로 벽에 부착되어 있는 16개의 타일에 각각 0 또는 1을 적는다. 이때, 서로 한 변을 공유하면서 이웃하는 두 타 일에 적힌 수들의 곱이 항상 0이 되도록 적는 방법은 모두 몇 가지인가?

 

 

 

 

(2007년 3월 24일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

방정식 $1+4^x+4^y=z^2$을 만족하는 양의 정수해 $( x, y, z )$를 모두 구하여라.
(2007년 3월 24일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

정수 $p^p + q^q + 1$이 $pq$의 배수가 되도록 하는 소수의 쌍 $(p, q)$를 모두 구하여라.
(2007년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$에 대하여, $\ell_A$를 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점에서 $AB$와 $AC$에 내린 수선의 발 사이의 거리로 정의하자. 똑같은 방법으로 꼭지점 $B$와 $C$에 대하여도 각각 $\ell_B$와 $\ell_C$를 정의하자. 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 $\ell$이라 할때, 부등식 \[\frac{\ell_A\ell_B \ell_C}{\ell^3} ≤ \frac{1}{64}\]이 성립함을 보여라.
(2007년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

(1) 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$가 임의의 양의 정수 $k$, $n$에 대하여
\[ kf(n)\le f(kn)\le kf(n)+k−1 \tag{*}\]을 만족할 때, 임의의 양의 정수 $a$, $b$에 대하여 \[f(a)+f(b)\le f(a+b) \le f(a)+f(b)+1\]이 성립함을 보여라. 단, $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이다.
(2) 조건 (*)를 만족하는 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$가 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 \[ f(2007n)\le 2007f(n)+2005\]를 만족할 때, $f(2007c)=2007f(c )$인 양의 정수 $c$가 존재함을 보여라.
(2007년 3월 24일, 4시간 30분, 3문제, 출처)