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삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$에 대하여
\[ A=\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b},\]\[ B=\frac{1}{\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}}+\frac{1}{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)}}+\frac{1}{\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}}\]이라 할 때, $AB\ge 9$임을 보여라.
(2009년 3월 28일, 출처4시간 30분)

각 $B$가 둔각인 삼각형 $ABC$의 외접원 $O$에 대하여, 점 $C$에서 원 $O$에 접하는 접선과 직선 $AB$의 교점을 $B_1$, 삼각형 $AB_1C$의 외접원의 중심을 $O_1$이라 하자. 선분 $BB_1$의 내부의 점 $B_2$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 접점 중에서 점 $C$에 가까운 점을 $C_1$, 삼각형 $AB_2C_1$의 외접원의 중심을 $O_2$라 하자. 두 직선 $OO_2$와 $AO_1$이 직교할 때, 다섯 개의 점 $O$, $O_2$, $O_1$, $C_1$, $C$가 한 원 위에 있음을 보여라.
(2009년 3월 28일, 출처4시간 30분)

탁자 위에 흰 돌과 검은 돌이 일렬로 놓여 있다 (단, 흰 돌과 검은 돌은 각각 적어도 한 개 이상이다). 이때 다음의 행위를 “작업”이라 하자:
검은 돌을 하나 선택하여, 그 검은 돌의 양 옆에 있는 두 개의 돌(선택한 검은 돌이 양 끝에 있는 경우에는 한 개의 돌)을, 흰 돌은 검은 돌로 검은 돌은 흰 돌로 바꾼다.
이제 탁자 위에 2008개의 흰 돌과 한 개의 검은 돌이 일렬로 놓여 있을 때, 위의 “작업”을 유한 번 시행하여 2009개의 돌이 모두 검은 돌이 되도록 만들 수 있는 검은 돌의 처음 위치를 모두 구하여라.
(2009년 3월 28일, 출처4시간 30분)

예각삼각형 $ABC$에 대하여 $\angle B \lt \angle C$라 하자. 직선 $AC$와 점 $C$에서 접하고 점 $B$를 지나는 원의 중심을 $O$, 원 $O$가 선분 $AB$와 만나는 점을 $D$라 하자. 직선 $CO$가 원 $O$와 만나는 점을 $P$, 점 $P$를 지나고 직선 $AO$와 평행한 직선이 직선 $AC$와 만나는 점을 $E$, 직선 $EB$가 원 $O$와 만나는 점을 $L$이라 하자. 단, $L$은 $B$와 다른 점이라 가정하자. 선분 $BD$의 수직이등분선과 직선 $AC$의 교점을 $F$, 직선 $LF$와 $CD$의 교점을 $K$라 할 때, 직선 $EK$와 $CL$이 서로 평행임을 보여라.
(2009년 3월 29일, 출처4시간 30분)

가로줄 $m+1$개, 세로줄 $m$개로 이루어진 총 $m(m+1)$개의 교차점이 있는 바둑판과 바둑알 하나가 주어져 있다. 두 사람이 교차점 위에 놓여 있는 바둑알을 교대로 한 칸씩 이동시키는 게임을 하는데, 바둑알은 현재 우치에서 위 아래나 좌우로 이웃한 점으로 한 칸씩 이동하여야 하며, 같은 점을 두 번 들르는 것은 허용되나, 이동하는데 한 번 이용하였던 선분은 다시 이용할 수 없다. 자기 차례에서 바둑알을 이동할 수 없으면 게임에서 지는 것으로 하자.
처음에 바둑알이 맨 아랫쪽 가로줄에 있는 교차점에 놓여 있는 경우, 먼저 하는 사람이 반드시 이길 수 있는 전략이 존재함을 보여라.
(2009년 3월 29일, 출처4시간 30분)

방정식 $3^m-7^n=2$를 만족하는 양의 정수 쌍 $(m,n)$을 모두 구하여라.
(2009년 3월 29일, 출처4시간 30분)