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임의의 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$ ,$AB$와 접하는 점을 각각 $P$, $Q$, $R$이 라하자. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $T$, 둘레의 길이를 $L$이라 할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[ \left(\frac{AB}{PQ}\right)^3+\left(\frac{BC}{QR}\right)^3+\left(\frac{CA}{RP}\right)^3\ge \frac2{\sqrt{3}} \cdot \frac{L^2}{T}.\]
(2010년 3월 27일, 출처, 4시간 30분)
예각삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$, 수심을 $H$라 하고, 내접원이 변 $BC$에 접하는 점을 $D$라 하자. 이때, $\angle B\lt \angle C$이고, 두 선분 $AO$와 $HD$는 평행하다고 한다. 직선 $OD$와 직선 $AH$의 교점을 $E$라 하고 선분 $CI$의 중점을 $F$라 할 때, 네 점 $E$, $F$, $I$, $O$는 한 원 위에 있음을 보여라.
(2010년 3월 27일, 출처, 4시간 30분)
$i$번 웹페이지에서 $j$번 웹페이지로 가는 링크가 있다면 이 링크를 사용하여 $i$번 웹페이지에서 $j$번 웹페이지로 바로 이동할 수 있다. $1$번부터 $n$번까지 번호가 붙은 $n\ge 2$개의 웹페이지에, 모든 $i\in \{1, 2, \ldots, n − 1\}$에 대해 $i$번 웹페이지에서 $i + 1$번 웹페이지로 가는 링크가 주어져 있다.
이때, 적절하게 $3(n − 1) \log_2(\log_2 n)$ 이하의 개수만큼 링크를 추가하면, 임의의 두 정수 $1\le i\lt j\le n$에 대하여, $i$번 웹페이지에서 시작해서 항상 숫자가 커지는 방향으로 링크 $3$개 이하를 사용하여 $j$번 웹페이지에 도달할 수 있도록 할 수 있음을 보여라.
(2010년 3월 27일, 출처, 4시간 30분)
변 $AB$와 $CD$가 평행한 사다리꼴 $ABCD$의 네 꼭지점 $A$, $B$, $C$, $D$가 시계방향 으로 놓여져 있다. 점 $A$를 중심으로 하고 $B$를 지나는 원을 $\Gamma_1$, 점 $C$를 중심으로 하고 $D$를 지나는 원을 $\Gamma_2$라 하자. 직선 $BD$가 $\Gamma_1$과 ($B$, $D$와 다른 점) $P$에서 만난다. 선분 $PD$를 지름으로 하는 원을 $\Gamma$라하고, $\Gamma$와 $\Gamma_1$이 ($P$와 다른 점) $X$에서 만난다. $\Gamma$와 $\Gamma_2$의 ($D$와 다른) 교점을 $Y$라 하자. 삼각형 $XBY$의 외접원과 $\Gamma_2$의 교점을 $Q$라 할 때, $B$, $D$, $Q$는 일직선 위에 있음을 보여라.
(2010년 3월 28일, 출처, 4시간 30분)
원형의 테이블에 $2n$명의 사람들이 일정한 간격으로 둘러 앉아 있다. 이 사람 들에게 총 $m$개의 과자가 주어져 있고, 이 사람들은 다음과 같은 규칙으로 과 자를 옆으로 전달한다.
– 오직 이웃한 사람에게만 과자를 전달할 수 있다.
– 본인이 과자 하나를 먹어야만 이웃한 사람 중 한 명에게 과자 하나를 전달할 수 있다.
테이블에 앉아 있는 사람들 중 특정한 한 사람을 A라 하자. 처음에 과자가 어떻게 분포하는지에 무관하게, A가 과자 하나 이상을 갖도록 과자를 전달할 수 있는 전략이 존재할 최소의 $m$값을 구하여라.
(2010년 3월 28일, 출처, 4시간 30분)
임의로 주어진 소수 $p$가 있다. 다음 조건들을 모두 만족하는 양의 정수열 $(n_1,n_2,\ldots,n_k)$가, $k = 1$일 때에는 존재하지 않지만, $2$ 이상의 어떤 양의 정수 $k$ 하나에 대해서라도 존재하면, 소수 $p$를 참한 소수라고 부르자:
조건 1. 모든 $i = 1,2,\ldots,k$에 대하여 $n_i \ge\frac{p+1}{2}$.
조건 2. 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대하여 $p^{n_i} −1$은 $n_{i+1}$의 배수이고, $\frac{p^{n_i} −1}{n_{i+1}}$과 $n_{i+1}$은 서로소이다. 단, $n_{k+1} = n_1$이다.
$2$는 참한 소수가 아니지만 그 외의 모든 소수는 참한 소수임을 보여라.
(2010년 3월 28일, 출처, 4시간 30분)