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방정식 \[x^2y^4-x^4y^2 +4x^2 y^2z^2+x^2z^4-y^2z^4 =0\]을 만족하는 양의 정수 $x$, $y$, $z$는 존재하지 않음을 보여라.
(2011년 3월 26일)
예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 점 $P\,(\ne B, C)$가 있다. 삼각형 $ABC$의 수심 $H$에서 선분 $AP$에 내린 수선의 발을 $D$라 하고, 삼각형 $ABD$와 $ACD$의 외접원을 각각 $\Gamma_1, \Gamma_2$라 하자. 점 $D$를 지나고 변 $BC$에 평행한 직선이 $\Gamma_1, \Gamma_2$와 만나는 점 중 $D$가 아닌 점을 각각 $X, Y$라 하고, $AB, AC$와 만나는 점을 각각 $E, F$라 하자. 두 직선 $XB$와 $YC$의 교점을 $Z$라 할 때, $BP=CP$일 필요충분조건은 $ZE=ZF$임을 보여라.
(2011년 3월 26일)
남학생 $a_1,a_2,\ldots,a_n$과 여학생 $b_1,b_2,\ldots,b_n$이 있다. 남학생끼리는 악수를 하지 않았고, 여학생끼리도 악수를 하지 않았으며, 모든 $i\in\{1,2,\ldots,n\}$에 대하여, $a_i$와 $b_i$는 악수를 하지 않았다. 이 학생 전체를 다음 조건을 만족하는 소그룹들로 나누고자 한다.
(a) 소그룹 안의 남학생 수와 여학생 수가 같다.
(b) 소그룹 안에서는 서로 악수를 한 학생이 없다.
서로 악수를 한 남학생, 여학생의 쌍 $(a_i, b_j)$의 개수가 $m$일 때, 소그룹의 개수를 $2$ 또는 $\frac{2m}{n} +1$ 이하가 되도록 만들 수 있음을 증명하여라.
(2011년 3월 26일)
음이 아닌 실수 $a, b, c$가 $a+b+c=1$을 만족할 때, \[\frac{1}{a^2-4a+9}+\frac{1}{b^2-4b+9}+\frac{1}{c^2-4c+9}\]의 최댓값을 구하여라.
(2011년 3월 27일)
조건 $AC<AB<BC$를 만족하는 삼각형 $ABC$에 대하여 $AC=AD$가 되는 변 $AB$ 위의 점을 $D$라 하자. 삼각형 $ABC$의 외접원이 각 $A$의 이등분선과 만나는 점을 $E$ ($\ne A$) 라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원이 $CD$와 만나는 점을 $F$ ($\ne C$)라 하자. $BC$와 $DE$의 교점을 $K$라 할 때, $DK\cdot EF=AC\cdot DF$일 필요충분조건은 $CK=AC$임을 보여라.
(2011년 3월 27일)
가로로 $m$칸, 세로로 $n$칸, 총 $mn$칸이 있는 직사각형 모양의 바둑판을 생각하자. 바둑판의 각 칸에 정수를 하나씩 써넣는다. 하나 이상의 칸으로 이루어진 직사각형 $R$에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 정수 $h$가 존재하면, $R$을 ‘선반’이라 하자. (단, 직사각형 $R$의 내부에 빠진 칸은 없다.)
(1) 직사각형 $R$에 속한 모든 칸에 적힌 수는 $h$보다 크다.
(2) 직사각형 $R$의 외부의 칸 중에서, $R$에 속한 칸과 꼭지점이나 변을 공유하는 모든 칸에 적힌 수는 $h$ 이하이다.
선반의 개수가 최대가 되도록 정수를 써넣는다면, 그때 선반의 개수는 모두 몇 개인가?
(2011년 3월 27일)