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임의의 양의 실수 $x$, $y$, $z$에 대해 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. \[\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\ge 1\]
(2012년 3월 24일 오후, 4시간 30분)
각 $B$가 직각이 아니고 $AB \ne AC$인 삼각형 $ABC$의 내심 $I$에서 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 직선 $AB$와 $DI$의 교점을 $S$, 직선 $DF$에 수직이고 $F$를 지나는 직선이 직선 $DE$와 만나는 점을 $T$, 직선 $ST$가 직선 $EF$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 이 때, 선분 $IR$을 지름으로 하는 원이 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 두 점 중 직선 $IR$에 대해 $A$와 다른 쪽에 있는 점을 $P_{ABC}$라 하자.
${XZ}={YZ}>{XY}$인 이등변삼각형 $XYZ$의 변 $YZ$ 위에 ${WY}<{XY}$인 점 $W$가 있다. $K=P_{YXW}$, $L=P_{ZXW}$라 할 때 $2\,KL\le XY$임을 보여라.
(2012년 3월 24일 오후, 4시간 30분)
$n$개의 집합 $A_1,A_2,\ldots,A_n$이 주어져있다. 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $X$에 대해 \[N(X)=\{i\in \{1,2,\ldots,n\}-X : \text{모든 $j\in X$에 대해 }A_i\cap A_j\neq \emptyset\}\]이라 하자. 이때 $m$이 $3\le m\le n-2$인 정수이면, $\lvert{X}\rvert=m$이고 $\lvert{N(X)}\rvert\neq 1$인 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $X$가 반드시 존재함을 증명하여라.
(2012년 3월 24일 오후, 4시간 30분)
예각삼각형 $ABC$에 대하여 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $D$, $E$는 각각 변 $AB$, $AC$의 내부에 있는 점으로서, $D$와 $E$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $F$와 $G$라 할 때, 두 선분 $DG$와 $EF$의 교점이 선분 $AH$ 위에 있다 하자. 점 $E$에서 직선 $DH$에 내린 수선의 발을 $P$라 할 때, $\angle APE=\angle CPE$임을 보여라.
(2012년 3월 25일 오전, 4시간 30분)
주어진 양의 정수 $n$에 대하여, $nx ^2+y^3=z^4$을 만족하는 정수 $x$, $y$, $z$ 중 어떤 두 수도 서로소인 해 $(x,y,z)$가 무한히 많이 존재함을 보여라.
(2012년 3월 25일 오전, 4시간 30분)
$3$보다 큰 소수를 약수로 갖지 않는 양의 정수의 집합을 $M$이라 하자. 집합 $M$의 임의의 부분집합들 $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 양의 정수 $i$와 $j$가 반드시 존재함을 증명하여라.
집합 $A_i$의 각 원소 $x$에 대해 집합 $A_j$는 $x$의 어떤 약수를 갖는다.
(2012년 3월 25일 오전, 4시간 30분)