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삼각형 $ABC$가 $\angle B \gt \angle C$를 만족하고, 변 $AC$ 위의 점 $D$는 $\angle ABD=\angle C$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 할 때, 삼각형 $CDI$의 외접원과 직선 $AI$의 교점 $E$($\neq I$)를 지나고 $AB$에 평행한 직선이 직선 $BD$와 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $ABD$의 내심을 $J$, $A$의 $I$에 대한 대칭점을 $A’$이라 하고 직선 $JP$와 직선 $A’C$가 점 $Q$에서 만날 때, $QJ=QA’$임을 보여라.
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)
다음 두 조건을 만족하는 함수 $f : \mathbb R \to \mathbb R$를 모두 구하여라.
(i) 임의의 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이다.
(ii) 식 $ab+bc+cd=0$을 만족하는 실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 다음 등식이 성립한다. \[f(a-b)+f(c-d)=f(a)+f(b+c)+f(d)\]
(단, $\mathbb R$은 모든 실수의 집합이다.)
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)
양의 정수 $n$($\ge 2$)에 대하여, $1\le i\lt j\le n$이고, $i$가 $j$의 약수인 모든 정수의 순서쌍 $(i, j)$들의 집합을 $T$라 하자. 음 아닌 실수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $ x_n$이 $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$을 만족할 때 다음 식의 최댓값을 $n$에 대한 함수로 나타내어라. \[\sum_{(i,j)\in T} x_i x_j\]
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)
삼각형 $ABC$의 꼭지점 $B$, $C$에 마주 보는 방심을 각각 $B_1$, $C_1$이라 하자. 직선 $B_1C_1$이 삼각형 $ABC$의 외접원과 $D$($\neq A$)에서 만난다고 하자. $B_1$에서 $CA$에 내린 수선과 $C_1$에서 $AB$에 내린 수선의 교점을 $E$라 하자. 삼각형 $ADE$의 외접원 $\omega$의 점 $D$에서의 접선과 직선 $AE$가 점 $F$에서 만난다고 하자. $D$에서 $AE$에 내린 수선의 발을 $G$, 이 수선이 $\omega$와 만나는 점을 $H$($\neq D$)라 하자. 삼각형 $HGF$의 외접원과 $\omega$의 교점을 $I$($\neq H$)라 하고, $D$에서 직선 $AH$에 내린 수선의 발을 $J$라 할 때, $AI$가 선분 $DJ$의 중점을 지남을 보여라.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)
서로 소인 양의 정수 $a$, $b$가 주어져 있다. 정수 수열 $(a_n)$과 $(b_n)$은
\[ (a+b\sqrt 2)^{2n}=a_n+b_n \sqrt 2\]를 만족하는 수열이라고 하자. 다음 조건을 만족하는 소수 $p$를 모두 구하여라:
(조건) 정수 $b_n$이 $p$의 배수가 되는 $p$ 이하의 양의 정수 $n$이 존재한다.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)
임의의 일대일대응 $f :\{1, 2, \ldots, n\}\to\{1, 2,\ldots, n\}$ ($n$은 양의 정수)에 대하여, 네 집합 $A$, $B$, $C$, $D$를 다음과 같이 정의하자. \[ A=\{i \mid i \gt f(i)\}\]\[ B=\{(i,j)\mid i\lt j \le f(j)\lt f(i)\text{ 또는 } f(j)\lt f(i) \lt i\lt j\}\]\[ C=\{(i,j)\mid i\lt j \le f(i)\lt f(j)\text{ 또는 } f(i)\lt f(j) \lt i\lt j\}\]\[ D=\{ (i,j)\mid i\lt j \text{이고 } f(i)\gt f(j)\}\] 다음 등식이 성립함을 보여라. (단, $|X|$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)\[ |A|+2|B|+|C|=|D|\]
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)