하루 4시간 30분, 3문제씩 2015년 3월 21일, 22일 이틀간에 걸쳐 치뤄졌습니다.
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다음을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb R$은 실수 전체의 집합)
\[ \text{모든 실수 $x$, $y$에 대하여 } f(x^{2015}+f(y)^{2015})=f(x)^{2015}+y^{2015} \text{이다.}\]
내심이 $I$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 점 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 삼각형 $IAB$, $IAC$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원과 직선 $EF$의 두 교점을 $P$, $Q$라 하자. 삼각형 $DPQ$의 외심이 직선 $O_1O_2$ 위에 있음을 보여라.
지하철역이 $3$개 이상인 도시가 있다. 이 도시에서 같은 지하철역을 두 번 이상 지나지 않고도 총 $L+1$개 이상의 지하철역을 지나는 경로가 있다면 다음 중 하나는 반드시 성립함을 보여라.(단, 지하철은 양방향으로 모두 운행한다.)
(i) 서로 다른 세 개의 지하철역 $A$, $B$, $C$가 존재하여 $C$를 지나지 않고 $A$에서 $B$로 가는 경로가 없다.
(ii) 적당한 지하철역에서 출발하여 같은 지하철역을 두 번 이상 지나지 않고 출발했던 지하철역으로 되돌아오는 방법 중 지하철역 $\lceil\sqrt{2L}\rceil $개 이상을 지나는 방법이 있다. 단, $\lceil x\rceil$는 $x$보다 작지 않은 정수 중 가장 작은 것이다.
예각삼각형 $ABC$의 수심 $H$와 꼭짓점 $A$, $B$를 모두 지나는 원 $\omega$가 변 $BC$와 점 $D$ ($\neq B$)에서 만난다고 하자. 직선 $DH$와 변 $AC$의 교점을 $P$라 하고, 삼각형 $ADP$의 외심을 $Q$라 할 때, 원 $\omega$의 중심이 삼각형 $BDQ$의 외접원 위에 있음을 보여라.
주어진 양의 정수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족하는 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$이 있다.\begin{align*}a_1&=k, & a_2&=k, & a_{n+2}&= a_n a_{n+1} \quad(n\ge 1)\\b_1&=1,& b_2&=k, & b_{n+2}&=\frac{b_{n+1}^3+1}{b_n} \quad (n\ge 1)\end{align*}모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a_{2n}b_{n+3}$은 정수임을 보여라.
반지름은 $1$이고 중심이 서로 다른 원 $2015$개가 평면에 있다. 이 중 $27$개의 원을 뽑아 다음 조건을 만족하는 모임 $C$를 만들 수 있음을 보여라.
$C$의 임의의 두 원은 서로 만나거나 $C$의 어떤 두 원도 서로 만나지 않는다.