2016 제29회 한국수학올림피아드 최종시험

2016년 3월 19일-20일. 하루 4시간 30분 3문제씩.

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2016 제29회 한국수학올림피아드 최종시험, 5.0 out of 5 based on 1 rating

예각삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $B$와 $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 $D$와 $E$라 하고, 변 $AC$와 $BC$에 대한 점 $E$의 대칭점을 각각 $S$와 $T$라 하자. 삼각형 $CST$의 외접원이 직선 $AC$와 점 $X(\ne C)$에서 만난다. 삼각형 $CST$의 외심을 $O$라 할 때, 직선 $XO$와 $DE$ 는 서로 수직임을 보여라.

두 정수 $n$, $k$가 $n \ge 2$와 $k \ge \frac{5}{2}n-1$을 만족한다. 좌표평면에서 $x$좌표, $y$좌표가 모두 $1$이상 $n$이하의 정수가 되는 서로 다른 $k$개의 점을 어떻게 선택하더라도, 이 중 네 개 이상의 점을 지나는 원이 존재함을 보여라.

어떤 두 유리수 $x$, $y$도 $\displaystyle x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=4$를 만족하지 않음을 보여라.

실수 $x$, $y$, $z$가 $x^2+y^2+z^2=1$을 만족할 때, \[(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)\]의 최댓값을 구하여라.

내심이 $I$인 예각삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 점 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 직선 $BI$, $CI$, $BC$, $DI$가 직선 $EF$와 각각 점 $K$, $L$, $M$, $Q$에서 만나고 선분 $CL$의 중점과 점 $M$을 지나는 직선이 선분 $CK$와 점 $P$에서 만날 때, \[PQ=\frac{AB\cdot KQ}{BI}\]임을 보여라.

삼각형 $m$개의 집합을 $U$라 하자. 이때, 아래 두 조건을 동시에 만족하는 $U$의 부분집합 $W$가 반드시 존재함을 보여라.
(i) $W$에 속한 삼각형의 개수는 $0.45m^{\frac{4}{5}}$이상이다.
(ii) $6$개의 삼각형 $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEF$, $EFA$, $FAB$가 모두 $W$에 속하게 되는 서로 다른 $6$ 개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$는 없다.

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