2015년 11월 1일 오전 및 오후 각각 4문제씩 제한시간 2시간 30분.
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이등변 삼각형이 아닌 예각 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 변 $AC$의 중점을 $M$이라 하고, 점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 삼각형 $OAM$의 외접원과 직선 $DM$의 교점을 $P(\neq M)$라 하자. 세 점 $B$, $O$, $P$는 한 직선 위에 있음을 보여라.
양의 정수 $m$에 대하여, 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수가 $0$ 또는 짝수임을 보여라.
(i) $x^2-3y^2+2=16m$
(ii) $2y\le x-1$
음 아닌 모든 정수 $i$에 대하여 숫자 $2^i$이 적힌 카드가 각각 $7$장씩 있다. 양의 정수 $n$에 대하여 카드에 적힌 수의 합이 $n$이 되도록 카드를 선택하는 방법의 개수를 구하여라. (단, 방법의 개수를 구할 떄, 같은 숫자가 적힌 카드를 구별하지 않는다.)
실수 $a$, $b$, $c$, $x$, $y$가 $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2=1$을 만족할 때, \[(ax+by)^2+(bx+cy)^2\]의 최댓값을 구하여라.
예각 삼각형 $ABC$의 내심과 내접원을 각각 $I$, $\Gamma$라 하자. 삼각형 $IBC$의 외접원과 원 $\Gamma$의 두 교점 중 $B$와 가까운 점을 $D$, $C$와 가까운 점을 $E$라 하자. 원 $\Gamma$와 직선 $BE$의 교점을 $K(\neq E)$라 하고, 직선 $CD$와 선분 $BI$, 원 $\Gamma$의 교점을 각각 $T$, $L(\neq D)$이라 하자. 점 $T$를 지나고 선분 $BI$와 수직인 직선이 원 $\Gamma$와 만나는 두 점 중 삼각형 $IBC$ 내부의 점을$P$라 하자. 점 $P$에서의 원 $\Gamma$의 접선, 직선 $KL$, 직선 $BI$가 한 점에서 만남을 보여라.
다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb R$은 실수 전체의 집합)
(i) 서로 다른 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x)\neq f(y)$
(ii) 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x+f(f(-y)))=f(x)+f(f(y))$
차수가 일차 이상이며, 계수가 정수인 다항식 $f(x)$에 대하여 다음 조건을 만족하는 소수 $p$가 무한히 많음을 보여라.
(조건) $f(n)\neq 0$이고 $\lvert f(n)\rvert $이 $p$의 배수가 되는 정수 $n$이 존재한다.
양의 정수 $n$이 주어져 있다. 다음 세 조건을 모두 만족하는 $m$개의 집합 $F_1$, $F_2$, $\ldots$, $F_m$이 존재하면 $m\le n$임을 보여라. (단, 집합 $A$, $B$에 대하여 $\lvert A\rvert$는 $A$의 원소의 개수이고, $A-B$는 $A$의 원소 중 $B$의 원소가 아닌 것의 집합이다.)
(i) 모든 $1\le i\le m$에 대하여 $F_i\subseteq \{1,2,\ldots,n\}$
(ii) $\lvert F_1\rvert \le \lvert F_2\rvert \le \cdots \le \lvert F_m\rvert$
(iii) 모든 $1\le i\lt j\le m$에 대하여 $\lvert F_i-F_j\rvert =1$