2016년 11월 12일. 오전 4문제, 오후 4문제.
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양의 실수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 다음 두 조건을 모두 만족한다.
(i) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=a_1^2\times a_2^2\times\cdots \times a_n^2-3$
(ii) $\frac{1}{2}(a_1+\sqrt{a_2-1})$은 양의 정수
모든 양의 정수 $n$에 대하여 $\frac{1}{2} (a_1\times a_2\times\cdots\times a_n+\sqrt{a_{n+1}-1})$은 양의 정수임을 보여라.
이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 접하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고, 내심을 $I$라 하자. 직선 $AD$와 내접원의 교점을 $G$($\neq D$)라 하고, 점 $G$에서의 내접원의 접선이 변 $AC$와 만나는 점을 $H$라 하고, 직선 $IH$와 $AD$의 교점을 $K$라 하자. 점 $I$에서 직선 $AD$에 내린 수선의 발을 $L$이라 할 때, $\overline{IE}\cdot \overline{IK}=\overline{IC}\cdot \overline {IL}$임을 보여라.
총 $n$명의 선수가 참가한 대회에서, 각각의 선수가 다른 모든 선수와 정확히 한 번씩 경기를 하여 무승부없이 승패를 결정하였다. 어떤 $k$($\le n$)명의 선수에 대하여 각 선수가 자기보다 뒤쪽에 있는 모든 선수에게 이긴 경우가 되도록 한 줄에 세울 수 있으면 그 $k$명의 선수의 집합을 서열이 정해진 집합이라고 부르자. 대회에 참가한 각 선수에 대하여 그 선수에게 진 선수들의 집합이 모두 서열이 정해진 집합이라 하자. 이때, 선수 전체의 집합을 서열이 정해진 집합 3개 이하로 나눌 수 있음을 보여라.
다음 식의 값이 정수가 되는 모든 양의 정수 $n$을 구하여라. \[ \frac{n(n+2016)(n+2\cdot 2016)(n+3\cdot 2016)\cdots (n+2015\cdot 2016)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots 2016}\]
양의 정수 $n$에 대하여, 다음 식을 $n$에 대한 다항식으로 표현할 수 있음을 보여라. \[ [2\sqrt{1}]+[2\sqrt2]+[2\sqrt3]+\cdots+[2\sqrt{n^2}]\] (단, 실수 $x$에 대하여 $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수)
원 $O_1$이 삼각형 $ABC$의 변 $AC$, $BC$와 각각 점 $D$, $E$에서 접하고, 원 $O_1$을 포함하는 원 $O_2$가 변 $BC$, $AB$와 각각 점 $E$, $F$에서 접한다. 직선 $DE$와 원 $O_2$의 교점 $P$($\neq E$)에서의 원 $O_2$의 접선이 직선 $AB$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 점 $O_1$을 지나고 직선 $BO_2$와 평행한 직선이 직선 $BC$와 만나는 점을 $G$, 직선 $EQ$와 $AC$의 교점을 $K$, 직선 $KG$와 $EF$의 교점을 $L$, 직선 $EO_2$와 원 $O_2$의 교점을 $N$($\neq E$), 직선 $LO_2$와 $FN$의 교점을 $M$이라 하자. 점 $N$이 선분 $FM$의 중점일 때, $\overline{BG}=2\overline{EG}$임을 보여라.
양의 정수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_9$가 $a_1+a_2+\cdots+a_9=90$을 만족할 때, 다음 식의 최댓값을 구하여라. \[ \frac{1^{a_1} 2^{a_2}\cdots 9^{a_9}}{ a_1! a_2!\cdots a_9!}\] (단, $n!=1\times 2\times \cdots \times n$)
좌표평면에서 한 움직이는 점이 오른쪽 또는 위로 1씩 움직일 수 있다고 할 때, 이 점이 좌표 (0,0)에서 출발하여 $(1,0)$, $(2,1)$, $\cdots$, $(n,n-1)$ 어느 점도 거치지 않고 $2n$번 움직여서 좌표 $(n,n)$에 이르는 모든 경로의 수를 $N$이라 하자. 이러한 $N$개의 경로 중 $k$번째에는 오른쪽으로 움직이고 $k+1$번째에는 위로 움직인 경로의 수를 $a_k$라 할 때 \[\frac1N (a_1+a_2+\cdots+a_{2n-1})\]의 값을 구하여라.