2017 제31회 한국수학올림피아드 중등부

2017년 11월 12일 제31회 한국수학올림피아드(KMO) 2차시험 중등부 문제.

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다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$과 음이 아닌 정수 $a_1$, $\ldots$, $a_n$을 모두 구하여라.

각 $i=1,\ldots,n$에 대하여 $a_1, \ldots, a_{n}$ 중 $i$의 배수는 정확히 $a_i$개 있다.

단, $0$은 모든 정수의 배수이다.

이등변 삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 변 $BC$의 수직이등분선이 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 두 점 중 직선 $BC$에 대하여 점 $A$와 같은 쪽에 있는 점을 $P$, 다른 쪽에 있는 점을 $Q$라 하자. 점 $D$를 지나고 직선 $AQ$와 평행한 직선이 직선 $EF$와 만나는 점을 $R$, 직선 $PQ$와 만나는 점을 $T$라 하자. 네 점 $B$, $R$, $C$, $T$가 한 원 위에 있음을 보여라.

다음 세 조건을 모두 만족하는 $1$보다 큰 정수 $n$과 정수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$을 모두 구하여라.
(i)  $2<a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$
(ii) $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$은 모두 $15^{25}+1$의 약수이다.
(iii) $2-\dfrac{2}{15^{25}+1} = \left( 1-\dfrac{2}{a_1}\right) + \left( 1-\dfrac{2}{a_2}\right)+ \cdots+ \left( 1-\dfrac{2}{a_n}\right)$

양의 실수 $a\ge b\ge c\ge d>0$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라.\[\frac{b^3}{a}+\frac{c^3}{b}+\frac{d^3}{c}+\frac{a^3}{d} +3(ab+bc+cd+da)\ge 4(a^2 + b^2 +c^2 +d^2 )\]

양의 정수 $n\ge 2$이 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 정수 $a$, $b$가 존재함을 보여라.

모든 정수 $m$에 대하여 $m^3+am+b$는 $n$의 배수가 아니다.

이등변삼각형이 아닌 예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 세 점 $D$, $E$, $F$를 지나는 원을 $O_1$이라 하고, 그 중심을 $N$이라 하자. 삼각형 $BCN$의 외접원을 $O_2$라 하고, 원 $O_1$과 $O_2$의 두 교점을 $P$, $Q$라 하자. 원 $O_2$가 직선 $AB$와 점 $K$($\neq B$)에서 만나고 직선 $AC$와 점 $L$($\neq C$)에서 만난다. 세 직선 $EF$, $PQ$, $KL$이 한 점에서 만남을 보여라.

다음을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}_{\ge0} \rightarrow \mathbb{R}$이 존재하지 않음을 보여라. \[\text{음이 아닌 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 } f(x+y^2)\ge f(x)+y\](단, $\mathbb{R}_{\ge0}$은 음이 아닌 실수 전체의 집합이며, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.)

양의 정수 $n$에 대하여, 총 $n$명의 학생이 있는 학교가 있다. 이 학교 학생들로 이루어진 집합 $X$에 대하여, $X$에 속한 임의의 서로 다른 두 학생이 서로 아는 사이이면 그 집합 $X$를 잘 짜인 집합이라 부르자. 잘 짜인 집합의 학생 수의 최댓값이 $k$이면, 이 학교에서 만들 수 있는 잘 짜인 집합의 개수는 $3^{(n+k)/3}$ 이하임을 보여라. 단, 공집합이나 학생 $1$명의 집합 역시 잘 짜인 집합이다.

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