1997 제11회 한국수학올림피아드 고등부

제11회 한국수학올림피아드 고등부. 1997년 11월 16일.

오전: 1~4번, 2시간 30분

오후: 5~8번, 2시간 30분

대 상: 박현정(경남과학고2)

금 상: 박치연(부산과학고1) 서지혜(서울과학고1) 안형준(서울과학고1) 이준성(광주과학고1) 한 린(서울과학고1)

은 상: 고영일(서울과학고2) 구제린(서울과학고1) 김현기(경기과학고2) 박범수(경기과학고1) 박병권(대전과학고2) 박세용(경기과학고1) 서준규(충북과학고2) 신승구(서울과학고1) 윤성혁 이세영(민족사관고1)

동 상: 강용석(민족사관고1) 곽정석(부산과학고2) 김규섭(강원과학고2) 김명환(서울과학고1) 김성종(충북과학고2) 김장수(대전과학고1) 김장훈(부산과학고2) 박정수(서울과학고1) 배상수(인천과학고2) 배서은(양천여고2) 서준석(서울과학고1) 선우준(부산과학고1) 송시한(인천과학고1) 오승현(대전과학고1) 이기호(서울과학고1) 이민우(민족사관고1) 이창희(서울과학고2) 장종하(광주과학고2) 정일균(서울과학고1) 조규붕(서울과학고1) 최 한(서울과학고2) 최원재(충북과학고2) 홍성근(서울과학고2)

장려상: 강경진(경기과고1) 강신욱(강원과고1) 강훈성(경복고2) 곽민선(숙명여고2) 곽상호(한성과고2) 구동현(한성과고2) 권경은(부천여고1) 김범식(서울과고2) 김상혁(영동고1) 김예안(서초고2) 김용규(대구과고2) 김인영(충북과고1) 김주영(창신고2) 노병윤(석관고2) 마수정(강원과고1) 문여송(창원고2) 박성배(부산과고1) 박성준(서울과고1) 박재현(서초고2) 박정서(인명여고2) 박창순(경원고2) 박태영(명신고2) 박형진(석관고2) 백지형(부개여고2) 변재일(과천고2) 변정혜(동덕여고2) 서상민(조대부고1) 오경석(충남과고1) 오승영(서울과고1) 오영욱(대륜고2) 유우경(김해고2) 윤명호(광명북고1) 이 완(경남과고2) 이경민(서울과고1) 이사민(서울과고1) 이소라(부천여고2) 이승준(가락고2) 이응창(영지고2) 이재기(부광고2) 이준호(배명고1) 이창면(동성고2) 임매순(경기과고1) 정 훈(상문고2) 정미연(안양고2) 정지용(전북과고1) 정진호(대구과고1) 조성희(여의도여고2) 조아연(혜성여고1) 진도형(경북과고1) 최규환(학성고2) 최정민(신일고1) 최준우(경남과고2) 하 솔(밀양고2) 하태중(학성고2) 한성일(강원과고2) 홍승민(경신고2) 홍인수(인천과고1) 황소정(서초고2)

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자연수 $n$을 양의 홀수들의 합으로 표시하는 방법의 수 $f(n)$을 구하여라. (합하는 순서가 다르면 다른 방법으로 간주한다. 예를 들면, $1+3+1$과 $3+1+1$은 서로 다른 방법이다.)

자연수 $n$에 대하여, \[ a_n=\sum_{k=0}^{[n/2]} {}_{n-2}C_k \left(-\frac14\right)^k\]라 할 때, $a_{1997}$을 구하라. 실수 $x$에 대하여 $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.

볼록육각형 $ABCDEF$에서 $AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$일 때, \[ \frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\ge \frac32\]임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.

임의의 홀수인 소수 $p$와 자연수 $a$, $b$에 대하여, \[ 1+\frac1{2^3}+\frac1{3^3}+\cdots+\frac1{(p-1)^3}=\frac{a}{b}\]일 때, $a$는 $p$의 배수임을 증명하라.

임의의 삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$, $B$, $C$에 대한 대변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하고 꼭지점 $A$, $B$, $C$에서 각각의 대변에 내린 중선의 길이를 각각 $x$, $y$, $z$라 하자. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $T$라 할때, \[ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge \sqrt{\sqrt{3}T}\]임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.

모든 실수 $x$, $y$에 대하여,

(i) $x^{100}+y^{100}\le p(x,y)\le 101(x^{100}+y^{100})$와
(ii) $(x-y)p(x,y)=(x-1)p(x,1)+(1-y)p(1,y)$

를 만족시키는 $x$, $y$에 관한 다항식 $p(x,y)$를 모두 구하라.

삼각형 $ABC$의 외부의 점 $X$, $Y$, $Z$에 대하여, $\angle BAZ=\angle CAY$, $\angle CBX=\angle ABZ$, $\angle ACY=\angle BCX$일 때, 직선 $AX$, $BY$, $CZ$는 한점에서 만남을 증명하라.

임의의 서로 다른 네 개의 자연수 $x$, $y$, $z$, $w$에 대하여, $x^2$, $y^2$, $z^2$, $w^2$이 등차수열을 이룰 수 없음을 증명하라.

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