2009 제23회 한국수학올림피아드 고등부

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삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$라 하자. 세 삼각형 $BIC$, $CIA$, $AIC$의 외심을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고, 세 선분 $DI$, $EI$, $FI$의 중점을 각각 $P$, $Q$, $R$라 할 때, 삼각형 $PQR$의 외심 $M$은 선분 $IO$의 중점임을 보여라.
(2009년 8월 23일 오전, 2시간 30분, 출처)

임의의 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[\frac{a^3}{c(a^2+bc)}+\frac{b^3}{a(b^2+ca)}+\frac{c^3}{b(c^2+ab)}\ge \frac32.\]
(2009년 8월 23일 오전, 2시간 30분, 출처)

양의 정수 $n$에 대해서 방정식 \[z^n=8x^{2009}+23y^{2009}\]의 정수해가 $x=y=z=0$ 밖에 없을 때, 이러한 $n$의 최솟값을 구하여라.
(2009년 8월 23일 오전, 2시간 30분, 출처)

학생 $n$ ($n\ge 3$)명이 있다. 이들 중 두 명이 서로 아는 경우가 모두 $s$가지($s\ge 1$), 세 명이 서로 다 아는 경우가 모두 $t$가지($t\ge 1$)라 하자. 두 학생 $x$, $y$에 대하여, 나머지 학생들 중 이 두 학생을 모두 아는 학생의 수를 $d(x,y)$라 할 때, 다음 부등식을 만족하는 서로 아는 세 명의 학생 $u$, $v$, $w$가 있음을 보여라. \[ d(u,v)+d(v,w)+d(w,u)\ge \frac{9t}{s}.\] 단, 학생 $A$가 $B$를 알면 $B$도 $A$를 안다고 가정하자.
(2009년 8월 23일 오전, 2시간 30분, 출처)

집합 $\{1,2,\ldots,12\}$에 대하여 다음 조건을 만족하는 일대일대응함수 $f:A\to A$의 개수를 구하여라.
조건: 모든 $i\in A$에 대하여 $f(i)-i$는 $3$의 정수배가 아니다.
(2009년 8월 23일 오후, 2시간 30분, 출처)

삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위의 점 $P$와 변 $CA$ 위의 점 $Q$에 대하여, 세 삼각형 $ABP$, $APQ$, $CPQ$의 내심을 각각 $I$, $J$, $K$라 할 때, 사각형 $PIJK$는 항상 볼록사각형임을 보여라. 단, $P$, $Q$는 삼각형 $ABC$의 꼭짓점이 아니다.
(2009년 8월 23일 오후, 2시간 30분, 출처)

$n$이 $2$ 이상의 양의 정수일 때, $2^n-1$이 $3^n-1$의 약수가 될 수 없음을 보여라.
(2009년 8월 23일 오후, 2시간 30분, 출처)

양의 정수 $n$에 대하여, 구간 $[0,n+1]$에서 함수 \[ f_n(x)=\left(\sum_{i=1}^n \lvert x-i\rvert\right)^2-\sum_{i=1}^n (x-i)^2\]의 최솟값을 $a_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{11}(-1)^{n+1}a_n$의 값을 구하여라.
(2009년 8월 23일 오후, 2시간 30분, 출처)

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