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양의 정수 $7^{2^{20}}+7^{2^{19}}+1$은 소수인 약수를 21개 이상 가짐을 보여라.
(2010년 8월 22일 10:00-12:30)
양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $ab+bc+ca=1$을 만족할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[\sqrt{a^2+b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt{b^2+c^2+\frac{1}{a^2}} + \sqrt{c^2+a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \sqrt{33}\]
(2010년 8월 22일 10:00-12:30)
삼각형 $ABC$의 내접원 $I$가 변 $BC,CA,AB$와 각각 $P,Q,R$에서 접한다고 하자. 두 점 $B,C$를 지나는 원이 원 $I$와 점 $X$에서 접하고, $C,A$를 지나는 원이 $I$와 점 $Y$에서 접하고, $A,B$를 지나는 원이 점 $Z$에서 접할 때, 세 직선 $PX,QY,RZ$가 한 점에서 만남을 보여라.
(2010년 8월 22일 10:00-12:30)
총 $n$명($n\ge 4$)의 외교관들이 모여 있다. 임의의 네 외교관 $A,B,C,D$에 대하여, $A$와 $B$가 악수를 했고 $B$와 $C$가 악수를 했으며 $C$와 $D$가 악수를 했다면, 세 쌍 $A$와 $C$, $A$와 $D$, $B$와 $D$ 중 악수를 했던 쌍이 반드시 존재한다. 이 때 다음을 증명하여라.
(a) 전체 외교관을 다음 성질이 만족하도록 공집합이 아닌 두 집합 $X,Y$로 나눌 수 있다. $X$에 속한 모든 외교관이 $Y$에 속한 어떤 외교관과도 악수를 하지 않았거나, $X$에 속한 모든 외교관이 $Y$에 속한 모든 외교관과 악수를 하였다.
(b) 어떤 두 외교관 $A,B$가 있어서 $A,B$ 이외의 외교관 중에 $A$와 악수한 사람들의 모임과 $B$와 악수한 사람들의 모임이 같다.
(2010년 8월 22일 10:00-12:30)
양의 실수 $x,y,z$가 $x+y+z=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[\sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{y}{1-y}} + \sqrt{\frac{z}{1-z}} > 2\]
(2010년 8월 22일 14:00-16:30)
원에 내접하는 사각형 $ABCD$에 대하여 직선 $AB$와 $CD$가 점 $X$에서 만난다. 점 $B$를 지나고 직선 $AC$와 직교하는 직선과 점 $C$를 지나고 직선 $BD$와 직교하는 직선의 교점을 $P$라 하고, 점 $D$를 지나고 직선 $AC$와 직교하는 직선과 점 $A$를 지나고 직선 $BD$와 직교하는 직선의 교점을 $Q$라 하자. 세 점 $X,P,Q$가 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2010년 8월 22일 14:00-16:30)
정보기관에서 테러리스트 용의자 2000명 사이에 휴대전화 통화가 있었는지 여부를 조사하였다. 그런데 서로 겹치지 않는 3명씩의 두 모임 $A,B$를 뽑아보면 $A$와 $B$ 사이에는 반드시 통화하지 않았던 쌍이 있었다. 이 때, 통화한 적이 있는 쌍의 개수는 201000보다 작음을 보여라.
(2010년 8월 22일 14:00-16:30)
원탁에 2010명의 사람이 둥글게 앉아 있다. 어떤 사람에게 과자를 주고, 그 사람으로부터 시계방향으로 1번째, 1+2번째, 1+2+3번째, …, 1+2+…+2009번째 사람에게 과자를 주었다. 이 때, 과자를 하나 이상 받은 사람의 수를 구하여라.
(2010년 8월 22일 14:00-16:30)