loading...
반지름의 길이가 같은 두 원 $O$, $O′$이 서로 다른 두 점 $A$, $B$에서만 만난다고 하자.원 $O$위의 점 $P(\neq A,B)$, 원 $O′$ 위의 점 $Q(\neq A,B)$에 대하여 $R(\neq B)$을 $PAQR$이 평행사변형이 되도록 택하자. 네 점 $B$, $R$, $P$, $Q$가 한 원 위에 있으면 $P Q = OO′$임을 보여라.
(2011년 8월 21일)
서로소인 두 양의 정수 $x$, $y$에 대하여, $x+3y^2$이 완전제곱수이면 $x^2 +9y^4$이 완전제곱수가 아님을 보여라.
(2011년 8월 21일)
실수 $a$, $b$, $c$, $d$가 두 조건 $a+b+c+d = 19$와 $a^2 +b^2 +c^2 +d^2 = 91$을 만족할 때, \[\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d\]의 최댓값을 구하여라.
(2011년 8월 21일)
양의 정수 $k$와 $n$에 대해, 원 위에 $kn$개의 서로 다른 점 $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_{kn}$이 시계방향으로 배열되어 있다. 각 점에 $k$개의 색 $c_1$, $c_2$, $\ldots$, $c_k$ 중 하나를 칠할 때, 다음 조건을 모두 만족시키도록 칠하는 방법의 수를 구하여라.
(1) 각각의 색으로 칠할 점의 개수는 $n$이다.
(2) 임의의 $i\neq j$에 대하여, 점 $P_a$와 $P_b$에 $c_i$를 칠하고 점 $P_c$와 $P_d$에 $c_j$를 칠한다면 선분 $P_aP_b$와 $P_cP_d$는 서로 만나지 않는다.
(2011년 8월 21일)
다음조건을만족하는양의정수 $n$중에서 $3^8$보다 작은 것의 개수를 구하여라.
양의 정수 $k$ ($1\le k\le n$) 중에서 $\frac{n!}{(n-3k)! k! 3^{k+1}}$이 정수가 되지 않도록 하는 $k$의 개수가 $216$이다.
(2011년 8월 21일)
삼각형 $ABC$의 내접원이 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 접하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 삼각형 $ABC$의 내접원 위에 있고 삼각형 $AEF$의 내부에 있는 점 $P$에 대하여, 선분 $PB$와 선분 $DF$의 교점을 $X$, 선분 $PC$와 선분 $DE$의 교점을 $Y$라 하고 선분 $EX$와 선분 $FY$의 교점을 $Q$라 할 때, 두 점 $A$와 $Q$는 동시에 직선 $DP$ 위에 있거나 직선 $DP$를 중심으로 서로 반대편에 있음을 보여라.
(2011년 8월 21일)
서로 다른 $nr$개의 양의 정수를 학생 $n$명에게 각각 $r$개씩 나누어 주었다. 이 때 다음 조건을 만족시키도록 학생들을 $4r$개 이하의 반으로 편성할 수 있음을 증명하여라. (단 $n$, $r$은 양의 정수)
임의의 학생 $A$가 양의 정수 $m$을 가지고 있으면, $A$가 아닌 학생 중 $(m−1)!$보다 크고 $(m+1)!+1$보다 작은 양의 정수를 가진 학생은 $A$와 같은 반이 될 수 없다.
실수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{25}$이 각각 $0 \le x_i\le i$ ($i = 1,2, \ldots,25$)을 만족할 때, \[ x^3_1 + x^3_2 + ··· + x^3_{25} − (x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_{25}x_1x_2)\]의 최댓값을 구하여라.
(2011년 8월 21일)