---

삼각형  $ABC$의 외접원 $O$의 지름의 길이가 $2$이고, 꼭지각 $A$는 둔각이다. 점 $D$는 변 $AB$ 위의 점으로 $\overline{AD}=\overline{AC}$를 만족하는 점이고, 점 $K$는 원 $O$ 위의 점으로 선분 $AK$가 원 $O$의 지름이 되게 하는 점이다. 선분 $AK$와 선분 $CD$가 점 $L$에서 만나고, 점 $D$, $K$, $L$을 지나는 원과 원 $O$가 점 $P$($\ne K$)에서 만난다고 하자. $\angle BCD=\angle BAP=10^\circ$이면 $\overline{DP}=\sin \frac{\angle BAC}{2}$임을 보여라.

(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

어떤 모임에서 학생 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$이 서로 악수를 하였다. 학생 $A_i$가 악수한 횟수를 $d_i$($1\le i\le n$)이라 할 때, $d_1+d_2+\cdots+d_n>0$이다. 다음 조건을 모두 만족하는 $i$, $j$ ($1\le i<j\le n$)이 존재함을 보여라.

(1) 학생 $A_i$와 학생 $A_j$는 악수를 하였다.
(2) $\displaystyle \frac{(d_1+d_2+\cdots+d_n)^2}{n^2} \le d_i d_j$

(두 학생이 악수를 여러 번 할 수도 있다.)

(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분) (중등부 4번문제와 동일)

등식 $2^m p^2+1=q^5$을 만족하는 양의 정수 $m$과 소수 $p$, $q$를 모두 구하여라.

(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

등식 $a^2+b^2+c^2=2abc+1$을 만족하는 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 \[ (a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)\]의 최댓값을 구하여라.

(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

$3$보다 큰 소수 $p$가 다음 조건을 만족한다.

$2^x-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $x$ 중 가장 작은 것이 $p-1$이다.

$p=2k+3$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 식 \[a_i=a_{k+i}=2^i \quad (1\le i\le k), \qquad a_{j+2k}=a_i a_{j+k} \quad (j\ge 1)\]에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 $\{a_n\}$에는 $p$로 나눈 나머지가 모두 다른 $2k$개의 연속한 항이 존재함을 보여라.

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분) (중등부 6번문제와 동일)

삼각형 $ABC$의 내접원 $O$가 변 $BC$, $CA$와 각각 $D$, $E$에서 접한다. 점 $B$를 지나고 직선 $DE$와 평행한 직선이 원 $O$와 두 점에서 만난다고 하자. 이 두 점 중 $B$와 가까운 점을 $F$, 다른 점을 $G$, 직선 $CG$와 원 $O$의 교점을 $H$ ($\ne G$)라 하자. 점 $G$를 지나고 직선 $EH$와 평행한 직선과 직선 $AC$의 교점을 $I$라 할 때, 직선 $IF$와 원 $O$가 서로 다른 두 점 $J$, $F$에서 만난다고 하자. 직선 $CJ$와 직선 $EG$의 교점을 $K$, 점 $K$를 지나고 직선 $JD$와 평행한 직선을 $\ell$이라 할 때, 세 직선 $\ell$, $IF$, $ED$는 한 점에서 만남을 보여라.

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

$\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}=\{1,2,\ldots,10\}$일 때, $\sum_{n=1}^{10} (na_n^2-n^2 a_n)$의 최댓값을 구하여라.

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

$4$로 나눈 나머지가 $3$인 소수 $p$에 대하여 \[ T=\{(i,j) | i,j\in \{0,1,\ldots,p-1\}\}-\{(0,0)\}\]이라 하자. $T$의 임의의 부분집합 $S$ ($\ne \emptyset$)에 대하여, $S$의 부분집합 중 다음 조건을 모두 만족하는 집합 $A$가 존재함을 보여라.

(1) $(x_i,y_i)\in A$ ($1\le i\le 3$)이면 $x_1+x_2-y_3$과 $y_1+y_2+x_3$ 중 적어도 하나는 $p$의 배수가 아니다.
(2) $8n(A)>n(S)$   (단, $n(X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)