2013 제27회 한국수학올림피아드 고등부

시험일시 : 2013년 11월 10일(일) 오전 10:00 ~ 12:30 / 오후 2:00 ~ 4:30
오전 오후 각각 4문제.

문제출처

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2013 제27회 한국수학올림피아드 고등부, 4.0 out of 5 based on 1 rating

삼각형 $ABC$에서 변 $BC$ 위의 점 $P$를 지나고 $AB$, $AC$와 평행한 직선이 $AC$, $AB$와 만나는 점을 각각 $Q$, $R$이라 하고, 삼각형 $ABC$, $BPR$, $PCQ$의 외심을 각각 $O$, $O_1$, $O_2$라 하자. 삼각형 $BPR$의 외접원과 삼각형 $PCQ$의 외접원이 만나는 점을 $K$ ($\neq P$)라 할 때, 네 점 $O$, $O_1$, $O_2$, $K$는 한 원 위에 있음을 보여라.

식 $ab+bc+ca=3$을 만족하는 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}+\frac{(b+c)^3}{ \sqrt[3]{ 2(b+c)(b^2+c^2)} }+\frac{(c+a)^3}{\sqrt[3]{ 2(c+a)(c^2+a^2)} } \ge 12.\]

최고차항의 계수가 $1$인 정수계수 $6$차 다항식 중 다음 조건을 모두 만족하는 다항식 $f(x)$가 존재함을 보여라.
(1) 모든 정수 $m$에 대하여 $f(m)\neq 0$이다.
(2) 홀수인 양의 정수 $n$이 주어졌을 때, $f(k)$가 $n$의 배수가 되는 양의 정수 $k$가 존재한다.

양의 정수로 이루어진 수열 $\{a_i\}$가 점화식 $a_{i+2}=a_{i+1}+a_i$ ($i\ge 1$)을 만족할 때, 양의 정수 $n$에 대하여 \[ b_n=\frac1{a_{2n+1}}\sum_{i=1}^{4n-2} a_i\]라 하자. 수열 $\{b_n\}$의 모든 항이 양의 정수임을 보이고, 이 수열의 일반항을 구하여라.

다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$을 모두 구하여라.
임의의 양의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(mn)=\operatorname{lcm}(m,n)\cdot \gcd(f(m),f(n))$이다.
(단, $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이고 $\operatorname{lcm}(m,n)$과 $\gcd(m,n)$은 각각 $m$, $n$의 최소공배수와 최대공약수이다.)

외심이 $O$인 삼각형 $ABC$의 변 $BC$위의 점 $P$에 대하여, $P$를 지나고 $B$에서 $AB$에 접하는 원과 $P$를 지나고 $C$에서 $AC$에 접하는 원이 점 $Q$($\neq P$)에서 만난다. $Q$에서 직선 $AB$와 $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$와 $E$라고 할 때, $DE$와 $BC$의 교점을 $R$이라 하자. 세 점 $O$, $P$, $Q$가 한 직선 위에 있으면 세 점 $A$, $R$, $Q$도 한 직선 위에 있음을 보여라.

양의 정수 $k$에 대하여, 정수로 이루어진 수열 $\{b_n\}$과 $\{c_n\}$이 다음과 같이 주어진다. \[ b_1=1, \quad b_{2n}=kb_{2n-1}+(k-1)c_{2n-1},\quad b_{2n+1}=b_{2n}+(k-1)c_{2n},\]\[ c_1=1,\quad c_{2n}=b_{2n-1}+c_{2n-1},\quad c_{2n+1}=b_{2n}+kc_{2n} \quad (n\ge 1)\] 양의 정수 $k$에 대하여 얻어진 $b_{2014}$를 $a_k$라 할 때 \[ \sum_{k=1}^{100}\left( a_k-\sqrt{a_k^2-1}\right)^\frac{1}{2014}\]를 구하시오.

양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여, 평면 위에 $a+b+c+d$개의 점으로 이루어진 집합 $X$가 있다. $X$의 어떠한 세 점도 한 직선 위에 있지 않다면 다음 조건을 모두 만족하는 평행하지 않은 두 직선 $\ell_1$, $\ell_2$가 존재함을 증명하여라.
(i) $X\cap (\ell_1\cup \ell_2)=\emptyset$
(ii) 두 직선 $\ell_1$과 $\ell_2$로 평면을 나누었을 때 만들어지는 네 영역이 $X$의 원소를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$개 포함한다.

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