2014년 11월 2일.
오전 오후 각각 4문제, 2시간 30분씩.
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정수 $x,y$에 대하여 $x^2-4y+1$이 $(x-2y)(1-2y)$의 배수일 때, $\lvert x-2y\rvert$가 완전제곱수임을 보여라.
다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$을 모두 구하여라. 단, $\mathbb R$은 실수 전체의 집합이다.\[ \text{ 모든 실수 $x,y$에 대하여 } f\left(xf(x)+f(x)f(y)+y-1 \right) = f \left(xf(x)+xy \right) +y-1\text{ 이다.}\]
원 $O$의 지름이 아닌 현 $AB$가 있다. 점 $A$와 $B$에서의 원 $O$의 접선의 교점을 $C$라 하고 선분 $AC$와 $BC$의 중점을 각각 $M, N$이라 하자. 점 $C$를 지나고 원 $O$와 외접하는 원이 직선 $MN$과 두 점 $P, Q$에서 만날 때, $\angle PCQ=\angle CAB$임을 보여라.
총 $n$개의 지하철역의 위치가 정$n$각형을 이루고 있는 도시가 있다. 지하철 1호선은 이 정$n$각형에서 이웃하지 않은 두 지하철역 $A$와 $B$만을 직선으로 연결한 노선이다. 지하철 2호선은 정$n$각형 형태로 이 도시의 지하철역을 모두 지나는 순환형 노선이다. 지하철은 각 노선에서 양방향으로 모두 운행되며, $A$와 $B$는 다른 노선으로 갈아탈 수 있는 역이다. 지하철 각 노선에서 이웃한 두 지하철역 사이를 하나의 지하철 구간이라 하자. 각 지하철역의 역장은 1명이며 여자가 역장인 지하철역도 있고 남자가 역장인 지하철역도 있다고 하자.
이때 $n$이 홀수이면, 모든 정수 $k$ ($0< k<n$)에 대하여, 정확히 $k$개의 지하철 구간을 이용하여 남자가 역장인 어느 지하철역에서 여자가 역장인 지하철역으로 같은 역을 두 번 들르지 않고 이동할 수 있음을 보여라.
볼록사각형 $ABCD$에서 $\angle A=\angle D $이다. 두 대각선의 교점을 $E$라 하고 변 $AB$, $CD$, $DA$의 중점을 각각 $L, M, N$이라 하자. 점 $A$에서 직선 $AD$에 접하고 점 $E$를 지나는 원이 직선 $EN$과 점 $F(\ne E)$에서 만난다고 할 때, $\angle NFL=\angle MFN$임을 보여라.
다음 조건을 모두 만족하는 일대일함수 $f:\{1,2,\ldots,9\}\to \{1,2,\ldots,9\}$의 개수를 구하여라.
(i) $f(1)>f(2)$이고 $f(9)<9$이다.
(ii) $f(1), f(2),\ldots,f(i-1)$이 모두 $f(i)$보다 작으면, $f(i+1)$도 $f(i)$보다 작다. (단, $i=3,4,\ldots,8$)
다음 조건을 모두 만족하는 실수 $x,y,z$에 대하여 $x^4+y^4+z^4$의 최솟값을 구하여라.\[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 8, \;\; x^3+y^3+z^3=1\]
다음 조건을 모두 만족하는 함수 $f\colon \mathbb N\to \mathbb N$이 존재함을 보여라. 단, $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이다.
(i) $\{f(n)\colon n\in \mathbb N\}$은 유한집합이다.
(ii) $0$이 아닌 정수 $x_1,x_2,\ldots,x_{1000}$이 $f(|x_1|)=f(|x_2|)=\cdots=f(|x_{1000}|)$을 만족하면 \[x_1+2x_2+2^2 x_3+2^3 x_4+2^4x_5+\cdots +2^{999}x_{1000}\neq 0\]이다.