2015년 11월 1일 오전 및 오후 각각 4문제씩 제한시간 2시간 30분.
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양의 정수 $m$에 대하여, 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수가 $0$ 또는 짝수임을 보여라.
(i) $x^2-3y^2+2=16m$
(ii) $2y\le x-1$
삼각형 $ABC$의 외접원을 $\omega$라 하자. 점 $D$는 선분 $BC$ 위에 있고, 점 $E$는 선분 $AD$ 위에 있다. 반직선 $AD$와 원 $\omega$의 교점을 $F$라 하자. 원 $\omega$ 위의 점 $M$은 호 $AF$를 이등분하는 점으로서, 선분 $AF$에 대하여 $C$의 반대쪽에 있다. 반직선 $ME$와 원 $\omega$의 교점을 $G$, 반직선 $GD$와 원 $\omega$의 교점을 $H$, 반직선 $MH$와 반직선 $AD$의 교점을 $K$라 할 때, 네 점 $B$, $E$, $C$, $K$가 한 원 위에 있음을 보여라.
실수 $a$, $b$, $c$, $x$, $y$가 $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2=1$을 만족할 때, \[(ax+by)^2+(bx+cy)^2\]의 최댓값을 구하여라.
양의 정수 $n$, $k$, $\ell$에 대하여, 다음 네 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(a_1,a_2,\ldots,a_\ell)$의 개수를 $Q(n,k,\ell)$라고 하자.
(i) $n=a_1+a_2+\cdots+a_\ell$
(ii) $a_1\gt a_2\gt \cdots \gt a_\ell\gt 0$
(iii) $a_\ell$은 홀수
(iv) $a_i$ 중 홀수의 개수가 정확히 $k$개
예를 들어, $9=8+1=6+3=6+2+1$이므로 $Q(9,1,1)=1$, $Q(9,1,2)=2$, $Q(9,1,3)=1$이다. $n\gt k^2$이면 $\sum_{\ell=1}^n Q(n,k,\ell)$가 $0$ 또는 짝수임을 보여라.
모든 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 다음 식을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합) \[ (f(x)+1) (f(y)+f(z))= f(xy+z)+f(xz-y)\]
원 $\omega$에 내접하는 등변사다리꼴 $ABCD$가 $AB=CD$, $AD\lt BC$, $AD\lt CD$를 만족한다. 중심이 $D$이고 점 $A$를 지나는 원이 선분 $BD$, 선분 $CD$, 원 $\omega$와 각각 점 $E$, 점 $F$, 점 $P(\neq A)$에서 만난다고 하자. 직선 $AP$와 직선 $EF$의 교점을 $Q$라 하고, 원 $\omega$가 직선 $CQ$, 삼각형 $BEQ$의 외접원과 만나는 점을 각각 $R(\neq C)$, $S(\neq B)$라 하자. $\angle BER=\angle FSC$임을 보여라.
양의 정수 $n$이 주어져 있다. 다음 두 조건을 모두 만족하는 $m$개의 집합 $F_1$, $F_2$, $\ldots$, $F_m$이 존재하면 $m\le n$임을 보여라.
(단, 집합 $A$, $B$에 대하여 $\lvert A\rvert$는 $A$의 원소의 개수이고, $A-B$는 $A$의 원소 중 $B$의 원소가 아닌 것의 집합이다.)
(i) 모든 $1\le i\le m$에 대하여 $F_i\subseteq \{1,2,\ldots,n\}$
(ii)모든 $1\le i\lt j\le m$에 대하여 $\min(\lvert F_i-F_j\rvert, \lvert F_j-F_i\rvert)=1$
양의 정수 $n$에 대하여, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$는 $n$ 이하의 양의 정수 중 $n$과 서로소인 수를 모두 한 번씩 나열한 것이다. $k\gt 8$일 때, 다음을 보여라. \[ \sum_{i=1}^k \left\lvert a_i-\frac{n}{2}\right\rvert\lt \frac{n(k-4)}{2}\]