2017년 11월 12일. 제31회 한국수학올림피아드(KMO) 2차시험 고등부. 오전 3시간, 오후 3시간.
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정팔각형 $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7 P_8$의 대각선 $20$개의 집합을 $U$라고 하자. 다음 두 조건을 모두 만족하는 집합 $S$의 개수를 구하여라.
(i) $S$는 $U$의 부분집합이다.
(ii) $\overline{P_i P_j},~\overline{P_j P_k} \in S$이고 $ i\ne k$이면, $\overline{P_i P_k} \in S$이다.
다음 식을 만족하는 정수 $n$과 양의 정수 $k$, $m$이 존재하도록 하는 소수 $p$를 모두 구하여라. \[\dfrac{(mk^2+2)p-(m^2 +2k^2)}{mp+2}=n^2\]
이등변 삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 변 $BC$의 수직이등분선이 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 두 점 중 직선 $BC$에 대하여 점 $A$와 같은 쪽에 있는 점을 $P$, 다른 쪽에 있는 점을 $Q$라 하자. 점 $D$를 지나고 직선 $AQ$와 평행한 직선이 직선 $EF$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 직선 $EF$와 직선 $PQ$의 교점이 삼각형 $BCR$의 외접원 위에 있음을 보여라.
다음과 같이 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$을 정의하자. \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x-1} \qquad & (x>1)\\1 & (x=1)\\\dfrac{x}{1-x} & (x<1)\end{cases}\]양의 무리수 $x_1$이 어떤 정수 계수 이차방정식의 해라고 하자. 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $x_{n+1}=f(x_n)$으로 정의하자. 이 때, $x_k=x_\ell$을 만족하는 서로 다른 두 양의 정수 $k$, $\ell$이 존재함을 보여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.)
소수 $p$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 정수 $a$, $b$가 존재함을 보여라.
모든 정수 $m$에 대하여 $m^3+2017am+b$는 $p$의 배수가 아니다.
사각형 $ABCD$에서 $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$이며, $\overline{CD}<\overline{BC}$이다. $AC$와 $BD$의 교점을 $E$라 하고, 선분 $BD$의 수직이등분선이 $BC$와 만나는 점을 $F$라 하자. 점 $F$를 중심으로 하고 점 $B$를 지나는 원은 선분 $AB$와 점 $P$($\neq B$)에서 만나고, 선분 $AC$와 점 $Q$에서 만난다. 선분 $EP$의 중점을 $M$이라 하자. 삼각형 $EPQ$의 외접원이 $AB$에 접할 필요충분조건이 세 점 $B$, $M$, $Q$가 한 직선 위에 있는 것임을 보여라.
다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}_{\ge0} \rightarrow \mathbb{R}$이 존재하도록 하는 실수 $c$를 모두 구하여라.
음이 아닌 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x+y^2)\ge cf(x)+y$
(단, $\mathbb{R}_{\ge0}$은 음이 아닌 실수 전체의 집합이며, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.)
양의 정수 $n$에 대하여, 총 $2n$명의 학생이 있는 학교가 있다. 이 학교 학생들로 이루어진 집합 $X$에 대하여, $X$에 속한 임의의 서로 다른 두 학생이 서로 아는 사이이면 그 집합 $X$를 잘 짜인 집합이라 부르자. 잘 짜인 집합의 학생 수의 최댓값이 $n$ 이하일 때, 이 학교에서 만들 수 있는 잘 짜인 집합의 개수의 최댓값을 구하여라. 단, 공집합이나 학생 $1$명의 집합 역시 잘 짜인 집합이다.