1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회

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다음 극한값\[L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{j}{j^2}{k^2}\]을 이중적분으로 표현하고 그 값을 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

$a_1, a_2,\cdots,a_n$이 서로 다른 실수이고($n\ge 1$), $f(x)=(x-a_1)\cdots(x-a_n)$일 때, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{f'(a_i)}$을 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

실수 성분으로 이루어진 임의의 $n\times n$행렬 $A, B$에 대하여 \[\det (A^{t}A+B^{t}B) \ge 0\]임을 보여라. 단, $A^{t}$는 $A$의 전치행렬(transpose matrix)을 나타낸다.
(1997년 10월 12일, 출처)

$\displaystyle w=\frac{1}{2}\left( z+\frac{1}{z}\right)$로 주어졌을 때, $z$가 원점을 중심으로 하는 원 위를 움직이면, $w$는 어떤 도형 위를 움직이는가?
(1997년 10월 12일, 출처)

함수 $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$가 $2f(\sin x)+f(\cos x)=\sin^2 x$를 만족할 때, 이러한 함수 $f$를 모두 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

자연수 $m,n$에 대하여 \[ \sum_{(m,n)=1}\frac{1}{2^{m+n}-1}\]의 값을 구하여라. 단, $(m,n)=1$은 $m$과 $n$이 서로 소인 것을 나타낸다.
(1997년 10월 12일, 출처)

주어진 3차원 벡터 $A,B,C$에 대하여 $\det (A,B,C)\gt 0$일 때 $X\times Y=A, Y\times Z=B, Z\times X=C$를 만족하는 벡터 $X,Y,Z$를 모두 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

자연수 $n$과 $r$에 대하여 $F(n,r)=1^r + 2^r +\cdots n^r$이라고 가정하자.
(1) $(n+1)^{r+1}-(n+1)={{r+1} \choose 1}f(n,r)+{{r+1} \choose 2}F(n,r-1)+\cdots+{{r+1}\choose r}F(n,1)$임을 보여라.
(2) $F(n,r)$은 $n$에 관한 $(r+1)$차 다항식임을 보여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

임의의 자연수 $n$은 다음 여섯 개의 합동식 중 적어도 한 개를 만족함을 보여라.
\[n \equiv 0\pmod{2}, n\equiv 0 \pmod{3},n\equiv 1\pmod{4}, \]\[n \equiv 3 \pmod{8}, n\equiv 7 \pmod{12}, n\equiv 23 \pmod{24}.\]
(1997년 10월 12일, 출처)

한 변의 길이가 1인 정7각형에서 서로 다른 두 개의 대각선의 길이 $\rho$와 $\sigma$($\rho \lt \sigma$)는 세 식 \[\rho^2 = 1+\sigma,\ \rho\sigma = \rho+\sigma,\ \sigma^2=1+\rho+\sigma.\]를 만족함을 보여라. 그리고 $\rho$와 $\sigma$는 각각 삼차방정식 $x^3-x^2_2x+1=0$과 $x^3-2x^2-x+1=0$의 근임을 보여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

세 번 이상 미분가능한 함수 $f(x,y)$가 좌표평면의 모든 점$(x,y)$에서 다음 조건
(i) $\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)\gt 0$
(ii) $\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)\cdot\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)-\left\{ \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)\right\}^2 \gt 0$을 만족할 때, 사상 \[F(x,y)=(x+\frac{\partial}{\partial x}f(x,y),y+\frac{\partial}{\partial y}f(x,y))\]는 두 점 사이의 거리를 작게 하지 않음을 증명하여라. 즉, 두 점 $F(x_1,y_1)$과 $F(x_2,y_2)$와의 거리가 $(x_1,y_1)$과 $(x_2,y_2)$의 거리보다 작지 않음을 보여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

$\displaystyle\int_{[0,1]^{n}} \max\{ x_1,x_2,\cdots,x_n\} dx_1 dx_2\cdots dx_n$을 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

함수방정식 $f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$($a,b$는 양수)를 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$는 유일함을 증명하여라. 단, $\mathbb{R}^{+}$는 음이 아닌 모든 실수들의 집합이다.
(1997년 10월 12일, 출처)

적분방정식 $\displaystyle y(t)+2\int_{0}^{t}(\cos\theta)y(t-\theta)d\theta=e^{-t}+\cos t$를 만족하는 함수 $y(t)$를 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

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