2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회

2011년 11월 12일 10:00-13:00. 출처

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함수 $f(x)$가 다음과 같이 적분으로 정의되어 있다. \[ f(x)=\int_{\sin x}^{1+x} e^{t^2+2xt}\,dt.\] 이 때, $f'(0)$을 구하여라.

모든 성분 $a_{ij}$가 양의 실수인 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 임의의 $1\le j\le n$에 대하여 $\sum_{I=1}^n a_{ij}=1$을 만족한다. 이 때, 방정식 $\det (A-xI)=0$의 근의 절대값은 모두 1 이하임을 보여라.

다음 정적분 $\int_0^\infty x^3 \pi^{-\sqrt[3]{x^8}}\,dx$의 값을 구하여라.

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 집합 $\{(x,y)\in \mathbb Z^2: x^2+3y^2=n\}$의 원소의 개수를 $A(n)$이라 하자. 집합 $\{(x,y)\in \mathbb Z^2: x^2+3(4y^2-3y)=n\}$의 원소의 개수는 $\frac12 A(16n+27)$임을 보여라.

두 번 미분 가능한 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$는 $f(0)=0$을 만족한다. 이 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \int_0^1 \lvert f'(x)\rvert^2\,dx\ge \frac14 \int_0^1 \frac{\lvert f(x)\rvert^2}{x^2}\,dx.\]

주어진 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 $1\le i,j\le n$에 대하여 다음을 만족시킨다. \[ a_{ij}=\begin{cases} i^2-1, &\text{$i=j$일 때,}\\ij,&\text{$i\neq j$일 때.}\end{cases}\] 이 행렬 $A$의 모든 고유치(eigenvalue)들과 행렬식을 구하라.

좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원판 $D$가 있다.

(1) 다음 이중적분의 값을 구하여라.\[\int\int_D \frac1{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dx\,dy.\]

(2) 가로의 길이가 2011이고 세로의 길이가 각각 $a_1,\ldots,a_n$인 $n$개의 직사각형 종이조각이 주어져 있다. 만약 $\sum_{i=1}^n a_i<2$이면, 이 종이들로 원판 $D$를 덮을 수 없음을 보여라. (단, 종이들을 겹치는 것은 허용하되 접거나 찢는 것은 허용하지 않는다.)

3차원 유클리드 공간 상의 직선 $\ell$과 평면 $P$가 원점에서 만난다고 가정하자. 선형변환 $f$는 $\ell$을 축으로 하는 어떤 회전이고, 또다른 선형변환 $g$는 $P$에 대한 반사(reflection)라 한다. 그러면, 수직하게 만나는 직선 $\ell’$과 평면 $P’$이 있어서 $\ell’$을 축으로 하는 어떤 회전 $f’$과 $P’$에 대한 반사 $g’$에 대하여 $f\circ g=f’\circ g’$을 만족함을 보여라.

함수 $f(x)=\frac1{x-x^{3/5}}$에 대하여, 다음 정적분 \[\int_{2^5}^{3^5}f(x)\,dx\]의 값을 구하여라.

임의의 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여, \[ \det\begin{pmatrix} A&A^2\\A^3&A^4\end{pmatrix}=0\]임을 보여라. (단, $A$의 모든 성분은 실수이다.)

함수 $f(x)=e^{cos(x^2)}$에 대하여 $\frac{d^8 f}{dx^8} (0)$을 구하여라.

수열 $\{y_n\}$은 $y_1=1$, $y_2=3$이고, 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 \[ y_{n+2}=\frac2{n} \left( (n^2+3n+1)y_{n+1}-2(n+1)^2 y_n\right)\]을 만족한다. 이 수열의 모든 항은 양의 정수임을 보여라.

함수 $f(x)$가 3차 다항식이라고 할 때, 다음을 증명하여라. \[\int_0^{2n}f(x)\, dx= \frac13( f(0)+4f(1)+2f(2)+4f(3)+2f(4)+\cdots+2f(2n-2)+4f(2n-1)+f(2n)).\]

주어진 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 $1\le i,j\le n$에 대하여 다음을 만족시킨다. \[ a_{ij}=\begin{cases} i^2-1, &\text{$i=j$일 때,}\\ij,&\text{$i\neq j$일 때.}\end{cases}\] 이 행렬 $A$의 모든 고유치(eigenvalue)들과 행렬식을 구하라.

임의의 연속함수 $f:[0,1]\to[0,\infty)$에 대하여 $I(f)$를 다음과 같이 정의한다.  \[ I(f):=\int_0^1 \left( x^2f(x)-(f(x))^3\right)dx.\] 이 때, $I(f)$가 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하여라.

좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원판 $D$가 있다.

(1) 다음 이중적분의 값을 구하여라.\[\int\int_D \frac1{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dx\,dy.\]

(2) 가로의 길이가 2011이고 세로의 길이가 각각 $a_1,\ldots,a_n$인 $n$개의 직사각형 종이조각이 주어져 있다. 만약 $\sum_{i=1}^n a_i<2$이면, 이 종이들로 원판 $D$를 덮을 수 없음을 보여라. (단, 종이들을 겹치는 것은 허용하되 접거나 찢는 것은 허용하지 않는다.)

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