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다음 적분값 $J$를 구하여라.
\[ J=\int_0^1 \sqrt[3]{ 2x^3-3x^2-x+1} \, dx \]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

다음을 만족하는 정사각행렬 $A$, $B$가 존재하지 않음을 보여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
\[ (AB)^{2012}-(BA)^{2012}=I.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

다음 우극한값을 계산하여라.
\[\lim_{x\to0^+} \frac{ \sqrt{\tan x -x}}{\sin \sqrt{x} -\sqrt x}.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

주어진 정수 $n\ge 2$에 대하여 다음 조건을 만족하는 $n\times n$ 행렬 $A$의 $\operatorname{tr}(A)$가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) $\operatorname{rank}(A+I)=1$,
(2) $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A^3)$.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

실수에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$가 $2\int_0^{\frac{1}{2}} f(x)\, dx=\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)\,dx$를 만족한다. 이 때 다음 부등식이 성립합을 보여라.
\[3\int_0^1 (f'(x))^2 \,dx \ge \left( 2\int_0^1 f(x)\,dx\right)^2.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

모든 성분이 정수인 정사각행렬 $A$가 다음 조건을 만족하면 $A=I$임을 보여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) 홀수인 소수 $p$에 대하여 행렬 $A-I$의 모든 성분은 $p$의 배수이다.
(2) $A^k=I$인 양의 정수 $k$가 존재한다.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

실수열 $X=\{x_i\}$ $(1\le i\le n)$에 대하여, $m_k(X)$를 다음과 같이 정의한다.
\[ m_k(X)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k.\]
만약 $m_1(X)=0$이면, 다음 부등식이 항상 성립함을 보여라.
\[ [m_3(X)]^2 \le m_2(X) (m_4(X)-[m_2(X)]^2 ).\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

두 번 미분가능한 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 $f(0)=0$이고 다음 조건을 만족할 때, $f(1)=0$임을 보여라.
\[ (f'(x))^2 \le f(x)f”(x), \quad \forall x\in [0,1].\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

다음과 같이 주어진 행렬 $A$에 대하여 $A^{2012}$의 모든 성분의 합을 구하여라.
\[A=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 2\\-4 & 3 & 2\\-4 & 1 & 4 \end{pmatrix}.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

다음 조건을 만족하는 연속함수 $f:[0,1]\to [0,\infty)$를 모두 구하여라.
\[\int_0^1 x f(x)\,dx = 3\int_0^1 x^2 f(x)\,dx = 9 \int_0^1 x^3 f(x)\,dx.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

좌표평면상에 주어진 직선 $y=x$와 곡선 $y=x^2$으로 둘러싸인 부분을 $y=x$를 축으로 하여 회전하였을 때 생기는 회전체의 부피를 구하여라.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

두 점 $P=(0,1)$, $Q=(2\sqrt{3},3)$와 $x$축 위의 임의의 점 $X$에 대하여, 다음 식의 최솟값을 구하여라.
\[ |X-P|+\sqrt{3} |X-Q|.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

다음 조건을 만족하는 모든 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $\operatorname{tr}(A)$가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) $A^2=I$,
(2) $\operatorname{rank}(A+I)=1$.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

실수 $x$, $y$, $z$에 대하여, $m_k=\frac{1}{3}(x^k+y^k+z^k)$으로 정의한다. 만약 $m_1=0$이면 다음의 부등식이 성립함을 보여라.
\[ m_3^2\le m_2 (m_4 -m_2^2).\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

수열 $\{e_n\}$을 $e_n=\left(1+\frac1n\right)^n$으로 정의할 때, 다음의 극한값을 계산하여라. (단, $e$는 자연로그의 밑이다.)
\[ \lim_{n\to \infty} \left( \frac{ 2n(e-e_n) }{ e} \right)^n .\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

모든 성분이 실수인 대칭행렬 $A$가 다음 조건을 만족시킬 때, $A$의 어떤 고유치는 $1$보다 크다는 것을 보여라.
(1) $A$의 모든 대각성분은 $0$이다.
(2) $A$의 어떤 성분은 $1$보다 크다.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)