2013 제32회 전국 대학생 수학경시대회

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주어진 $2013\times 2013$ 행렬 $A$의 임의의 행은 서로 다른 2013 이하의 양의 정수로 이루어져 있다. 행렬 $A$의 행렬식이 2013의 배수임을 보여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

다음 영역의 부피를 구하여라. \[\{x,y,z\}\in\mathbb{R}^3: \, (x^2+y^2+4z^2+3)^2\le 16 (x^2+y^2)\}.\]
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 방정식 $x^n+x^{n-1}+x-1=0$의 음이 아닌 유일한 실수해를 $x_n$이라 하자. 이 때, 수열 $\{x_n\}$은 증가수열이고 1로 수렴함을 증명하여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

임의의 $n\times n$ 실행렬 $A$, $B$와 $n\times n$ 단위 행렬 $I$에 대하여 다음을 증명하라. \[ \operatorname{rank}(I+AB)=\operatorname{rank}(I+BA).\]
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

집합 $S$를 다음과 같이 정의하자. \[ S=\{n\in\mathbb{Z}:2x^2+xy+4y^2=n\text{인 정수 $x,y$가 존재한다}\}.\]
(1) 임의의 $m\in S$에 대하여 $2m\in S$임을 보여라.
(2) 임의의 $m,n\in S$에 대하여 $mn\in S$임을 보여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

실수에서 정의된 두 번 미분가능한 함수 $f$는 임의의 $x\in [0,1]$에 대하여 $f(x)\ge 0$이고 $f”(x)\le 0$를 만족한다. 다음 부등식을 증명하여라. \[ \int_0^1 xf(x)\,dx \le \frac23 \int_0^1f(x)\,dx.\]
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

크기가 $n\times n$인 실행렬 $A$의 모든 행벡터의 크기는 1이고 $\operatorname{tr}(A)>\sqrt{n(n-1)}$일 때, $\det(A)\neq 0$임을 보여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

단조증가하는 함수 $f:[1,\infty)\to[1,\infty)$는 임의의 $x$에 대하여 다음 조건을 만족한다. \[ f(x)^2\le f(4x)\le 2013^{\sqrt{x}}.\] 이 때, 극한값 $\lim_{x\to\infty} \frac{\log\log f(x)}{\log x}$를 구하여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

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